Acho que o critério da integral não se aplica aqui, certo? Não podemos afirmar que a sequência é decrescente. E qual a função que vamos integrar?
Eu fiz assim: Se s_n convergir para algum real s, então Soma (a_n)/k converge para s/k. Para todo n, 0 < (a_n)/(a_n + k) < (a_n)/k, pois os a_n são positivos. Logo, por comparação, concluímos que Soma (a_n)/(a_n + k) converge para algum real < s/k. Se Soma (a_n)/(a_n + k) convergir, então lim (a_n)/(a_n + k) = lim 1 - k/(a_n + k) = 0. Logo, lim k/(a_n + k) = 1 e, portanto, lim a_n + k = k, do que deduzimos que lim a_n = 0. Isto implica que lim (a_n)/((a_n)/(a_n + k))= lim a_n + k= k > 0. Como Soma (a_n )/(a_n + k) converge, o critério da comparação do limite mostra Soma a_n converge. Para a série Soma (a_n)/(s_n), vou dar a mesma sugestão que me deram. Seja t_n a sequência das somas parciais de (a_n)/(s_n). Para m > n, 0 < t_m - t_n = (a_(n + 1)/(s_(n + 1)) ,..+ (a_m)/(s_m). s_n é estritamente crescente e positiva. Fazendo algumas estimativas, podemos mostrar que, se s_n convergir, t_n é Cauchy. E se s_n divergir, t_n não é Cauchy. Naquela da função f tal que f(f(x)) = ax^2 + bx + c, vou dar uma idéia de uma possível prova. Deve haver outras saídas. Seja f uma função qualquer definida num domínio D e com valores em D. Seja g = f o f. Consideremos os pares (x, y) de D^2, com x e y distintos, tais que g(x) = y e g(y) = x. Para nossos objetivos, vamos concordar que (x, y) = (y, x), o que interessa é o ciclo que sai de x e volta a x passando por y. Seja P o conjunto destes pares. Se P for finito, pode ter, por exemplo, 7 elementos? Pode ser vazio? Pode ter 12 elementos? Pensemos no sistema g(x) = y g(y) = x Que no nosso caso é ax^2 + bx + c = y ay^2 + by + c = x Abraços Artur Artur Costa Steiner Em 02/03/2013, às 21:51, terence thirteen <[email protected]> escreveu: > Eu comecei o segundo usando homogeneidade... > > Se provarmos para k=1, para provar pra k geral basta multiplicar a série por > k. De outra forma, faça a_n=k*b_n... > > Assim, as séries a_n/(1+a_n) e a_n são 'equivalentes'. > > Mas nunca pensaria em usar transformações deste gênero: se int(f dx) > então int(F dx)... Pensei em usar critério da integral, mas parecia > difÃcil demais... > > > Em 2 de março de 2013 17:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa > <[email protected]> escreveu: >> 2013/3/1 Artur Costa Steiner <[email protected]>: >> > Acho estes interessantes >> > >> > Seja a_n é uma sequencia de reais positivos e s_n a sequência de >> > suas somas parciais. Mostre que as seguintes séries convergem se, e >> > somente se, s_n converge. >> > >> > 1) Soma (a_n)/(s_n) >> Muito bom esse critério! Eu só conseguir fazer porque eu "roubei" e >> supus que a_n fosse monótona, daà você usa comparação integral<->soma, >> e daà eu vi qual era a fórmula. Mais um pouquinho de esforço eu achei >> a transformação certa. Sem isso eu nunca teria acreditado que era (x ~ >> - log(1-x)) e não o mais habitual x ~ log(1+x). Mas talvez seja porque >> eu estou no século errado, há um tempo todo mundo faria x = - log(1-x) >> *antes* de pensar na log(1+x). Aliás, vendo tantos logs, faz pensar um >> pouco no critério de condensação de Cauchy também. >> >> > 2) Soma (a_n)/(a_n + k), k > 0 >> Essa eu achei mais fácil ;-) >> >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > > > -- > /**************************************/ > 神ãŒç¥ç¦ > > Torres > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
