abc + bcd + cda + dab = abcd -> a(bcd -bc-bd-cd) = bcd Logo, temos qualquer número é divisor do produto dos outros 3 (I)
Ao fatorarmos abcd em potência de primos, podemos obter 1, 2, ou 3 primos distintos Se houvesse 4 primos, por (I), cada um dos números, a, b, c, d deveria ser múltiplo dos 4 primos simultaneamente, o que daria a soma <= 4/2.3.5.7 < 1 Além disso, pelo menos um dos números que é menor ou igual a 4 Se a=4, (a,b,c,d) = (4,4,4,4) Se tivermos 3 primos distintos os 2 primeiros valores da soma em ordem decrescente são 1/2+1/3+1/5+1/30 > 1 1/2+1/3+1/7+1/42 = 1 Logo temos (2, 3, 7, 42), já que quaisquer outros números implicariam e soma<1 Se tivermos 2 primos: Se a=2 1/b+1/c+1/d = 1/2 -> b<=6 -> (2,6,6,6) ou b=3, 4 ou 5 Se b=3 -> 1/c+1/d = 1/6 -> c>6 e c<=12 d=6+36/(c-6) -> c=8,9 ou 12 Isso dá (2,3,8,24), (2,3, 9,18), (2,3,12,12) Se b=4, c>4 e c<=8 d=4+16(c-4) -> c = 5, 6, 8 Isso dá (2,4,5,20),(2,4,6,12) Se b=5, 1/c+1/d=3/10, logo c<10 -> c=8 (pois c deve ser múltiplo de 2 e/ou 5), sem soluçã Se a=3, B<=9/2 -> b=4 ou 3 Se b=3, 1/c+1/d=3, c<=6, d=3+9(c-3), c=4, 6 Isso dá (3,3,4,6), (3,3,6,6) Se b=4, 1/c+1/d = 5/12, c<=24/5 -> c=4 Isso dá (3,4,4,6) Se tivermos 1 primo p=2 ou 3 Pois se p fosse 5, soma mámixa = 4/5<1 a=2 ou 3 (como já visto) Se a=2 1/b+1/c+1/d = 1/2, b<=6, logo b=4 1/c+1/d = 1/4 -> c=d=8 -> (2,4,8,8) Se a=3 1/b+1/c+1/d = 2/3 -> b<=9/2, logo b=3 1/c+1/d = 1/3, absurdo Logo temos: (4,4,4,4), (2,4,8,8), (3,4,4,6), (3,3,4,6), (3,3,6,6), (2,4,5,20), (2,3,6,12), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,12,12) e (2,3,7,42) []'s João Date: Fri, 15 Feb 2013 16:31:10 -0800 From: [email protected] Subject: [obm-l] problema To: [email protected] Olá, companheiros!Um aluno me perguntou o seguinte:a <=b<=c<=d1/a+1/b+1/c+1/d=1Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais satisfazem a igualdade?Um abraço!Grego
