Humm... eu justificaria da seguinte forma: Se o polinomio "resto da divisao de P(x)/Q(x)" assume o valor zero para infinitos valores de x, ou ele possui uma quantidade infinita de raizes ou ele e' identicamente igual a zero. Como ele nao pode ter uma quantidade infinita de raizes, entao ele e' nulo. Portanto Q(x) divide P(x).
Isso seria suficiente? []'s Rogerio Ponce Em 12 de setembro de 2012 13:31, Ralph Teixeira <[email protected]>escreveu: > Vou fazer usando uns canhoes: > > Lema: se R(x) eh um polinomio (nao nulo) com grau menor que Q(x), entao > R(x)/Q(x) nao pode ser inteiro para infinitos valores de x. > > Prova:como lim(|x|->+Inf) R(x)/Q(x)=0, existe um certo N0 a partir do qual > |R(x)/Q(x)| < 1 (isto eh, se |x|>N0 teriamos |R(x)/Q(x)|<1). Mas naquela > lista de infinitos valores de x haveria infinitos com modulo maior que N0, > entao R(x)=0 para todos eles, o que eh absurdo (o numero de raizes de R(x) > eh finito). > > ---///--- > > Agora, ao problema original: dividindo P(x) por Q(x), fica > P(x)=Q(x)H(x)+R(x), isto eh, P(x)/Q(x)=H(x)+R(x)/Q(x) onde o grau de R(x) > eh menor do que o de Q(x) e os coeficientes de H(x) sao racionais. Pegue o > mmc de todos os denominadores dos coeficientes de H, digamos, M, e > multiplique a coisa toda por M. > > MP(x)/Q(x)=MH(x)+MR(x)/Q(x) > > Note que, se x eh inteiro, entao MH tambem eh (pois os coeficientes de MH > agora sao inteiros). Assim, se houvesse infinitos valores inteiros de x que > fizessem P/Q ser inteiro, teriamos MR/Q inteiro tambem. Como o grau de MR > eh menor que o grau de Q, usando o lema, temos que R eh identicamente nulo. > > Abraco, > Ralph > 2012/9/12 Heitor Bueno Ponchio Xavier <[email protected]> > >> Não consigo fazer a seguinte questão: >> Mostre que se P(x) e Q(x) são polinômios de coeficientes inteiros tais >> que P(x)/Q(x) é inteiro para infinitos valores inteiros de x então Q(x) >> divide P(x). >> > >
