Vou fazer usando uns canhoes:
Lema: se R(x) eh um polinomio (nao nulo) com grau menor que Q(x), entao
R(x)/Q(x) nao pode ser inteiro para infinitos valores de x.
Prova:como lim(|x|->+Inf) R(x)/Q(x)=0, existe um certo N0 a partir do qual
|R(x)/Q(x)| < 1 (isto eh, se |x|>N0 teriamos |R(x)/Q(x)|<1). Mas naquela
lista de infinitos valores de x haveria infinitos com modulo maior que N0,
entao R(x)=0 para todos eles, o que eh absurdo (o numero de raizes de R(x)
eh finito).
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Agora, ao problema original: dividindo P(x) por Q(x), fica
P(x)=Q(x)H(x)+R(x), isto eh, P(x)/Q(x)=H(x)+R(x)/Q(x) onde o grau de R(x)
eh menor do que o de Q(x) e os coeficientes de H(x) sao racionais. Pegue o
mmc de todos os denominadores dos coeficientes de H, digamos, M, e
multiplique a coisa toda por M.
MP(x)/Q(x)=MH(x)+MR(x)/Q(x)
Note que, se x eh inteiro, entao MH tambem eh (pois os coeficientes de MH
agora sao inteiros). Assim, se houvesse infinitos valores inteiros de x que
fizessem P/Q ser inteiro, teriamos MR/Q inteiro tambem. Como o grau de MR
eh menor que o grau de Q, usando o lema, temos que R eh identicamente nulo.
Abraco,
Ralph
2012/9/12 Heitor Bueno Ponchio Xavier <[email protected]>
> Não consigo fazer a seguinte questão:
> Mostre que se P(x) e Q(x) são polinômios de coeficientes inteiros tais que
> P(x)/Q(x) é inteiro para infinitos valores inteiros de x então Q(x) divide
> P(x).
>
