2012/2/20 João Maldonado <[email protected]>: > > Olá Douglas, > > Na verdade essa prova eu consegui, mas note que isso só prova que não existe > p composto tal que (p-1)! = -1 (mod. p), mas não prova que para os primos > isso vale (só prova que para os não-primos não vale). > > Seguindo a idéia Tiago do fiz assim: > Basta provar o seguinte > > 1) Sendo p primo, sendo 1 < x < p-1 e 1 < y < p-1, x != y, temos que > escolhendo 1 x sempre vai existir um y inverso de x mod p, ou seja, y tal > que x.y = 1 mod p
Vamos ver. Queremos que para todo a (que não seja múltiplo de p) exista um X tal que p seja divisor de aX-1 Vamos usar PCP. Testamos todos os valores de X de 0 até p-1 (testar acima de p é supérfluo: X=p+Y, a*(p+Y)-1 = ap+(aY-1), e reduzimos o problema). Se tivermos sorte, algum zera! E se der o azar? Bem, podemos calcular o resto de aX-1 por p. Os valores possíveis, dado a ausência de um zero, vão de 1 até p-1. Temos um cara a mais - existem X1 e X2 tais que aX1-1 e aX2-1 deixam o mesmo resto. Logo, p é divisor de aX1-1-aX2+1 =a(X1-X2). Como a não é múltiplo, p é divisor de X1-X2. E agora? Não eram os Xzes diferentes? Pois, por esse absurdo, sabemos que não vai dar azar de não zerar. > > 2) y é único > > A segunda é fácil provar: > Se existisse um outro número (digamos z) > y tal que x.z = 1 (mod p), > sendo z = y+m, temos x(y+m) = 1 (mod p ) -> xm = 0 (mod p) -> m = pk, Logo > m = 0 ou m>=p, absurdo > Logo não existe z > > A primeira ainda não consegui provar > Alguém me dá uma ajuda? > > []'s > João > > > ________________________________ > Date: Mon, 20 Feb 2012 09:09:31 -0200 > From: [email protected] > To: [email protected] > Subject: Re: [obm-l] Fatorial de primos > > > > > Vamos tentar uma prova por absurdo, vamos supor (p-1)!=-1 (modp), mas que p > não seja primo, então p deve ser igual a m.n , (p=m.n), com 1<m<p e 1<n<p , > como pI(p-1)!+1 , logo mI(p-1)!+1 pois mIp, e como m<p, mI(p-1)!, conclui-se > que m divide a diferença (p-1)!+1-(p-1)!=1, o que é absurdo, logo m deve ser > primo!! > On Sun, 19 Feb 2012 23:44:53 -0300, João Maldonado wrote: > > Prove que sendo p um primo, (p-1)! = -1 (mod. p) > Como posso provar isso? > []'s > João > > > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
