Natália, o menor expoente para o qual a congruência é possível é o número de carmichael: http://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_function
Quanto ao problema eu pensei assim: Se k^2 = 1 + p + p^2 + p^3 + p^4. Vou estimar o valor de k em função de p. Parece que k é um pouco maior que p^2 + p/2. De fato (p^2 + p/2)^2 = p^4 + p^3 + (p^2)/4. Por outro lado (p^2 + p/2 + 1)^2 = p^4 + p^3 + (9/4)p^2 + p + 1, que é maior do que a gente gostaria. Então temos p^2 + p/2 < k < p^2 + p/2 +1 ==>> k = p^2 + p/2 + 1/2, visto que estamos nos inteiros. Daí é só fazer as contas: k^2 = (p^2 + p/2 + 1/2)^2 = 1 + p + p^2 + p^3 + p^4. Isso dá uma equação do 2o grau cujas solução são -1 e 3, logo 3 é o único primo. Willy 2011/7/28 Nathália Santos <[email protected]> > O phi ao que me referia era o de Euler > > ------------------------------ > From: [email protected] > To: [email protected] > Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito > Date: Thu, 28 Jul 2011 19:20:44 -0300 > > > Olá Natália > > Eu acho que está errado a resolução por 4 motivos: > > > ""A= k²= (p^5 -1)/(p-1) > p^5 -1=k²(p-1) > p^5 -pk² = 1-k² > p(p^4 -k²) = 1-k² > Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que: > 1-k² cong 0 (mód p) > k² cong 1 (mód p)"" > > A = 1 (mod p) -> Na verdade já sabíamos disso não precisava ter feito conta > nenhuma > > ""como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: > k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat. > então p-1 divide 2, """ > > Para QUALQUER p primo diferente de 2, p-1 é par, também não precisava de > conta nenhuma > > ""já que o phi representa o menor expoente para o qual a congruência é > possível, eu acho rs. "" > > Não entendi o phi no problema > > ""p-1 = 2 ou p-1=1 > p=3 ou p=2 > se p=3 => A=121 > se p=2 => A= 31 > Logo p=3 é a solução. > Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (: > Espero ter ajudado"" > > O fato de que p-1 é par implica infinitas soluções na equação. Na verdade > qualquer inteiro ímpar, NÃO SOMENTE O 2 E 3 > Como k^(p-1) = A^x = 1 (mod p) SEMPRE, para qualquer p ímpar, > inclusive 5, 7, 9, ... 2k+1 > > []'s > João > > > ------------------------------ > From: [email protected] > To: [email protected] > Subject: RE: [obm-l] Quadrado Perfeito > Date: Thu, 28 Jul 2011 21:09:19 +0000 > > A= k²= (p^5 -1)/(p-1) > p^5 -1=k²(p-1) > p^5 -pk² = 1-k² > p(p^4 -k²) = 1-k² > Aplicando congruência módulo p de ambos os lados teremos que: > 1-k² cong 0 (mód p) > k² cong 1 (mód p) > como pelo problema inicial sabemos que p não divide A: > k^(p-1) cong 1 (mód p) pelo teorema de fermat. > então p-1 divide 2, já que o phi representa o menor expoente para o qual a > congruência é possível, eu acho rs. > p-1 = 2 ou p-1=1 > p=3 ou p=2 > se p=3 => A=121 > se p=2 => A= 31 > Logo p=3 é a solução. > Espero que esteja certo, rs. Se não estiver, avise por favor (: > Espero ter ajudado > ------------------------------ > From: [email protected] > To: [email protected] > Subject: [obm-l] Quadrado Perfeito > Date: Thu, 28 Jul 2011 17:31:06 -0300 > > 2000 Grécia: > > Qual o número primo p, tal que > A=1 + p + p^2 + p^3 + p^4 é quadrado perfeito? > > > A única coisa que vi é que > Se p=3 A=121 > > Se p não é 3, e pelo pequeno teorema de fermat um quadrado perfeito deixa > resto 1 na divisão por 3, p^4 + p^3 +p^2 + p é divisível por 12, p^3 + p^2 > + p +1 é divisíivel por 12, p=6k-1 -> (p^2+1)(p+1) > > Acho que não serviu para nada kkk > > > []'s > João > >
