Acho que encontrei uma solução. Talvez não seja a mais elegante.
Considere
g(x)=2^x-4x^2, x>3.
Então
g'(x)=x(2^x-8)>0, x>3.
=> g é monótona crescente. E ainda, g(2^n)=2^(2^n)-2^(2+2n)->oo
quando n->oo. Em particular existe k>3 tal que g(x)>0 para todo x>k.
Com isso, se f(x):=2^x-x^4, x>3 então
f'(x)=xg(x)>0 para x>k. Em particular,
2^n-n^4>0, para n>k. Em outras palavras, (2^n/n^5)>1/n para
todo n>k. Como a série harmônica diverge, segue-se do critério da
comparação que a série
Sum (2^n)/(n^5) , n=1 to n=inf
também diverge.
Eu não revisei as contas. Espero não estar incorreto.
A.
Citando Emanuel Valente <[email protected]>:
Consegui fazer usando o critério da razão.... mas pela comparação (com
outra série) não saiu.
2011/4/24 Emanuel Valente <[email protected]>:
Olá pessoal, estou tendo dificuldades em fazer o seguinte exercício:
Com a ajuda do critério de comparação, analizar a série quanto a
convergencia e divergencia. Justifique!
Sum (2^n)/(n^5) , n=1 to n=inf
obrigado a todos pela atenção desde já
--
Emanuel Valente
Instituto de Física de São Carlos - USP
--
Emanuel Valente
Instituto de Física de São Carlos - USP
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
--
Arlane Manoel S Silva
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
