Suponha que existam tais números a e b. Fatore b em fatores primos, sendo b = p1^y1 * p2^y2 * ...
Se log_b a = k, então b^k = a -> a = p1^(y1 * k) * p2^(y2 * k) * ... Como a é inteiro, necessariamente temos que y1 * k, y2 * k, ..., têm de ser inteiros (caso contrário, teríamos raízes de primos no produto, que são necessariamente irracionais). Agora escreva k = p/q, com mdc(p,q)=1 e considere b^(1/q). Temos a = (b^(1/q))^p e b = (b^(1/q))^q. Mas como y_n * p/q é inteiro para todo n, y_n/q também deve ser, de forma que b^(1/q) é inteiro. Dessa forma, a e b são potências de expoente inteiro de um mesmo número inteiro, absurdo. Fernando
