2. Para fazer o 2, se não enxergar nada "mágico", tem sempre a força bruta.
Vc repara que para 0 <= x < 7, tem-se:
(7k + x)^5 = (7k)^5 + K_1*(7k)^4 * x + ... + x^5 == x^5 (mod 7)
Veja que todas as parcelas, exceto a última, tem um fator 7 que vem do "7k".
Assim sendo, em mod 7 tem-se (7k+x)^5 == x^5.
Pronto. Sua soma vira:
1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + 6^5 + 0^5 +
1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + 6^5 + 0^5 +
...
1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5
Calcule então os valores de
1^5 mod 7
2^5 mod 7
3^5 mod 7
4^5 mod 7
5^5 mod 7
6^5 mod 7
E faça a soma.
Vc pode acelerar esse cálculo final notando que há exatamente 7 vezes a
parcela (1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + 6^5 + 0^5) na soma (uma para 1 -- 7,
outra para 8 .. 14, ..., a última para 43 .. 49, e 49 = 7*7), e que a soma
vira então
7 * (1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + 6^5 + 0^5) + 1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5
Portanto, a soma, em mod 7, vale
1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5
Agora vc só precisa calcular
1^5 mod 7 = 1
2^5 mod 7 = 8*4 mod 7 = 4 mod 7
3^5 mod 7 = 9*9*3 mod 7 = 2*2*3 mod 7 = 5 mod 7
4^5 mod 7 = (2^2)^5 mod 7 = (2^5)^2 mod 7 = 4^2 mod 7 = 2 mod 7
Sua soma é então
1 + 4 + 5 + 2 = 5 + 7 = 5 (mod 7)
Desculpe-me de qualquer erro em conta.
E o correto é "*Por ora*".
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
2009/10/2 Diogo FN <[email protected]>
> Boa Noite, Amigos.
> Galera eu sei que já devo está ...
> MAs hoje o professor passou umas que... não saí do lugar...
> Vocês podem me ajudar?
>
> 01. Mostre que 7x³ + 2 = y³ não possui soluções inteiras.
> 02. Determine o resto da divisão de 1^5 + 2^5 + ... + 53^5 por 7.
>
> Por hora é só esses dois.
> Obrigado.
>
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