[obm-l] Trigonometria - postando novamente um problema interessante

[Carlos Nehab]

Oi, Fabricio, Tentei localizar um problema interessante que postaram aqui na Lista, bem como a solução que postei, mas não a encontrei (2007 ou 2006, não lembro) Estou postando o exercício novamente pois é clássico, mas bem mais difícil que o discutido aqui... O problema é provar que tg p/7.tg 2p/7.tg 3p/7 = (p é nosso pi...) Dica: Ao invés de abordar diretamente a relação proposta, prove que senp/7.sen2p/7.sen3p/7 = e  cosp/7.cos2p/7/cos3p/7  = 1/8, através da constatação que os 3 senos (e os 3 cossenos também) são raízes de uma equação do tercero grau e o produto das raízes pode ser obtido sem o conhecimento das mesmas... Naturalmente que rola o uso de sen 3x e cos 3x... Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Muito legais as soluções do Nicolau e do Nehab, vou contribuir com mais uma, diferente das anteriores. Antes, é necessário determinar uma fórmula para a tangente do arco triplo. A idéia de usar fonte mono-espaçada realmente deixa a escrita mais simples. Assumindo válido que tan(2a) = 2.tan(a)/(1-tan²(a), é possível chegar [através da fórmula da soma de arcos com tan(3a) = tan(2a+a)] em:           3.tan(a)-tan³(a) tan(3a) = ----------------            1 - 3.tan²(a) queremos mostrar que: tg20.tg30.tg40 = tg10  (em graus) = tan(30-10).tan(30).tan(30+10)    tan(30)-tan(10)     tan(30)+tan(10) = ----------------- . ----------------- . tan(30)   1-tan(30).tan(10)   1+tan(30).tan(10)    tan²(30) - tan²(10) = --------------------- . tan(30)   1 - tan²(30).tan²(10)   1 - 3.tan²(10) = -------------- . tan(30)    3 - tan²(10) (notemos aqui a semelhança com a fórmula para o arco triplo)            1 = ------------------ . tan(30)      3 - tan²(10)        --------------     1 - 3.tan²(10)            1            tan(10) = ------------------ . --------- . tan(30)      3 - tan²(10)    tan(10)     --------------     1 - 3.tan²(10)          tan(10) = ------------------------ . tan(30)     3.tan(10) - tan³(10)     --------------------        1 - 3.tan²(10)     tan(10) = ----------- . tan(30)    tan(3.10)    tan(10) = --------- . tan(30)    tan(30) = tan(10) . On Nov 8, 2007, at 17:24 , Carlos Nehab wrote: Oi, Graciliano, Nicolau ja deu uma solução muito legal, indicando, na verdade, uma técnica geral para problemas desta natureza (o que é extremamente útil). Eis entretanto outra solução, que embora local, é bonitinha (e se você ainda não souber complexos, esta o agradará: (use fonte courier, monoespaçada, por exemplo, para não esculhambar os espaçamentos a seguir). tg20.tg30.tg40 = tg10      sss tg20.tg40 = cot30.cot80    sss sen20.sen40   cos30.cos80 ----------- = -----------  sss  (usando proporções) cos20.cos40   sen30.sen80 cos20.cos40 + sen20.sen40    sen30.sen80 + cos30.cos80 ------------------------- =  -------------------------   sss cos20.cos40 - sen20.sen40    sen30.sen80 - cos30.cos80 cos20    cos50 ----- = -------  sss cos60   -cos110 cos20   sen40 ----- = ------  sss cos60   sen20 2.sen20.cos20 = sen40 que é obviamente verdadeira... Abraços Nehab Graciliano Antonio Damazo escreveu: Galera, estou com uma dificuldade de resolver este exercicio: 1) prove  que: tg20º.tg30º.tg40º = tg10º Agredeço desde já Graciliano Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================