Muito legais as soluções do Nicolau e do Nehab, vou contribuir com
mais uma, diferente das anteriores.
Antes, é necessário determinar uma fórmula para a tangente do arco
triplo.
A idéia de usar fonte mono-espaçada realmente deixa a escrita mais
simples.
Assumindo válido que tan(2a) = 2.tan(a)/(1-tan²(a), é possível chegar
[através da fórmula da soma de arcos com tan(3a) = tan(2a+a)] em:
3.tan(a)-tan³(a)
tan(3a) = ----------------
1 - 3.tan²(a)
queremos mostrar que: tg20.tg30.tg40 = tg10 (em graus)
= tan(30-10).tan(30).tan(30+10)
tan(30)-tan(10) tan(30)+tan(10)
= ----------------- . ----------------- . tan(30)
1-tan(30).tan(10) 1+tan(30).tan(10)
tan²(30) - tan²(10)
= --------------------- . tan(30)
1 - tan²(30).tan²(10)
1 - 3.tan²(10)
= -------------- . tan(30)
3 - tan²(10)
(notemos aqui a semelhança com a fórmula para o arco triplo)
1
= ------------------ . tan(30)
3 - tan²(10)
--------------
1 - 3.tan²(10)
1 tan(10)
= ------------------ . --------- . tan(30)
3 - tan²(10) tan(10)
--------------
1 - 3.tan²(10)
tan(10)
= ------------------------ . tan(30)
3.tan(10) - tan³(10)
--------------------
1 - 3.tan²(10)
tan(10)
= ----------- . tan(30)
tan(3.10)
tan(10)
= --------- . tan(30)
tan(30)
= tan(10)
.
On Nov 8, 2007, at 17:24 , Carlos Nehab wrote:
Oi, Graciliano,
Nicolau ja deu uma solução muito legal, indicando, na verdade, uma
técnica geral para problemas desta natureza (o que é extremamente
útil).
Eis entretanto outra solução, que embora local, é bonitinha (e se
você ainda não souber complexos, esta o agradará:
(use fonte courier, monoespaçada, por exemplo, para não esculhambar
os espaçamentos a seguir).
tg20.tg30.tg40 = tg10 sss
tg20.tg40 = cot30.cot80 sss
sen20.sen40 cos30.cos80
----------- = ----------- sss (usando proporções)
cos20.cos40 sen30.sen80
cos20.cos40 + sen20.sen40 sen30.sen80 + cos30.cos80
------------------------- = ------------------------- sss
cos20.cos40 - sen20.sen40 sen30.sen80 - cos30.cos80
cos20 cos50
----- = ------- sss
cos60 -cos110
cos20 sen40
----- = ------ sss
cos60 sen20
2.sen20.cos20 = sen40
que é obviamente verdadeira...
Abraços
Nehab
Graciliano Antonio Damazo escreveu:
Galera, estou com uma dificuldade de resolver este exercicio:
1) prove que: tg20º.tg30º.tg40º = tg10º
Agredeço desde já
Graciliano
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