Os triângulos AEC e DBC são isósceles. Ângulo BCD = BDC = x , ACE = AEC = y. Seja DC = m , CE = n. Da figura, GD = m.cosx e EF = n.cos y. Logo GD + EF = m.cosx + n.cosy. Lei dos Senos em DEC:
DE/sin(x+y) = DC/siny = EC/sinx = 2R. Logo m = 2R.siny e n = 2R.sinx e DE = 2R.sin(x+y) GD + EF = 2R(siny.cosx + sinx.cosy) = 2R.sin(x+y) = DE , como queríamos demonstrar. Date: Mon, 15 Dec 2008 14:58:09 -0200 From: [email protected] To: [email protected] Subject: Re: [obm-l] geometria plana Tarso, não entendi a que movimento você se refere. Minha solução é a "standard": DE = AB - AD - EB = AB - (AB - BC) - (AB - AC) = AC + BC - AB Da semelhança de AGD e ABC: AD/AB = (AB - BC)/AB = GD/BC = 1 - BC/AB GD = BC - BC²/AB Analogamente, EF = AC - AC²/AB Somando: GD + EF = AC + AB - (AC² + BC²)/AB = AC + BC - AB = DE Com uma boa figura dá para conjecturar que, se H é o pé da altura relativa à hipotenusa de ABC, então DG = DH e EF = EH. Creio que uma solução melhor pode ser obtida a partir da prova dessa conjectura. 2008/12/15 Tarso de Moura Leitão <[email protected]> Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a hipotenusa em E. Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em D. É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os "movimentos" dos pontos de tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ). Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r. Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr. Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado desejado. Espero ter ajudado. Tarso de Moura Leitão. _________________________________________________________________ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
