Olá Bouskela,
veja que temos um número de 4 digitos, logo: a != 0... isso faz com que
tenhamos que ter a^2 >= 10, logo: a >= 4
assim: a = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, d = { 0, 1, 5, 6 }
ok, faltam os digitos do meio...
100b + 10c de um lado.... e 10*(2ad) + o digito das dezenas de d^2 + o
digito das unidades de a^2... ótimo
vamos ver... digito das unidades de a^2... é o mesmo que a^2 (mod 10)... e
digito das dezenas de d^2... hmm, floor(d^2/10)
assim, temos:
1000a + 100b + 10c + d = 1000*floor(a^2/10) + 100*(a^2(mod10) +
floor(2*ad/10)) + 10*((2ad)(mod10) + floor(d^2/10)) + d^2(mod10)
agora acho q precisamos analisar...
floor(a^2/10) = a ... ok! let's test...
4^2 = 16 (nao)
5^2 = 25 (nao)
6^2 = 36 (nao)
7^2 = 49 (nao)
8^2 = 64 (nao)
9^2 = 81 (nao)
hey, temos novidades.. parece que a^2(mod10) + floor(2ad/10) >= 10.. para
ajudar nosso amigo "a"...
desta maneira, vamos ver... apenas o nove se encaixa no exigido..
logo, a = 9
assim, a^2(mod10) = 1, e, temos: 1 + floor(2ad/10) >= 10... hmm, vejamos:
floor(2ad/10) >= 9
mas sabemos que a = 9.. vamos simplificar um pouco nossa vida antes:
9000 + 100b + 10 c + d = 9000 + 100*(1 + floor(18d/10)) + 10*((18d)(mod10) +
floor(d^2/10)) + d^2(mod10)
ok.. mas ainda temos que ter 1 + floor(18d/10) >= 10 ........ floor(18d/10)
>= 9
novamente, vamos ver quem se encaixa...
d = { 0, 1, 5, 6 } ..... 0 nao.... 1 nao... 5 sim!... 6 sim!
eba! reduzimos nosso d... agora d = { 5, 6 }
falta descobrirmos novidades sobre b e c...
alias, acho q nao falta nao... vamos ver:
d = 5 .... entao: 95 .... 95^2 = 9025.... b=0, c = 5
d = 6 .... entao: 96 .... 96^2 = 9216.... b=2, c = 1
acho que provamos que são as únicas soluções...
abraços,
Salhab
2008/10/27 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>
> Meus amigos:
>
> Como se pode resolver ANALITICAMENTE o seguinte problema?
>
> Considere um número natural "n" de 4 algarismos: "a", "b", "c" e "d".
> Sabe-se que sqrt(abcd) = ad .
> Determine todos os valores possíveis de "n".
> Não considere a solução trivial: a=b=c=d=0 .
>
> Sei que podemos escrever:
> abcd = (ad)^2
> Logo: 1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2 = 100a^2 + 20ad + d^2
>
> Podemos, também, inferir que: d = {0, 1, 5, 6} .
>
> E daí???
>
> Obs.: Verifica-se que sqrt(9025) = 95 e sqrt(9216) = 96 .
> n = {9025, 9216}
>
> É claro que se pode "chutar" que: d=5 e c=2 .
> Daí: 1000a + 100b + 20 + 5 = 100a^2 + 100a + 25
> Simplificando: b/a = a - 9
> Sabe-se que b/a >= 0 .
> Logo: a = 9 e b = 0 .
>
> Pode-se, também, chutar que: d=6 e c=1 .
> Daí: 1000a + 100b + 10 + 6 = 100a^2 + 120a + 36
> E, após algum trabalho algébrico, se conclui que: a=9 e b=2 .
>
> Mas estas - é claro! - NÃO são soluções analíticas!
>
> Sds.,
> AB
> [EMAIL PROTECTED]
> [EMAIL PROTECTED]
>
