Prezado Bouskela,
Sejam:
<abcd> = 1000a + 100b +10c + d = n
<ad> = 10a + d
Queremos:
sqrt(<abcd>) = <ad>
<abcd> = <ad>^2
1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2
1000a + 100b + 10c + d = 100a^2 + 20ad + d^2
Vamos colocar as potências de 10 em evidência, para podermos tirar algumas
conclusões:
100*(10a - a^2 + b) = 10*(2ad - c) + d^2 - d (equação)
Logo d^2 - d é múltiplo de 10.
Portanto, d pertence a { 0, 1, 5, 6 }, como você já havia escrito.
Então, vamos abrir o problema em 4 casos:
> d = 0
equação : 100*(10a - a^2 + b) = -10c
Logo c é múltiplo de 10 e, portanto, c = 0.
equação : 10a - a^2 + b = 0
b = a^2 - 10a = a*(a-10)
Como 1 <= a <= 9, b = a*(a-10) < 0, o que não satisfaz.
> d = 1
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(2a - c)
Logo 2a - c é múltiplo de 10.
Primeiro opção: 2a - c = 0
equação : 10a - a^2 + b = 0
E a conclusão é a mesma do caso "d = 0".
Segunda opção: 2a - c = 10
equação : 10a - a^2 + b = 1
1 - b = a*(10-a)
Como 1 <= a <= 9, a*(10-a) > 0.
Logo 1-b > 0 e b = 0.
Então a*(10-a) = 1, o que é impossível, porque a e 10-a teriam que ser
iguais a 1.
> d = 5
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c) + 20
100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c + 2)
Logo 10a - c + 2 é múltiplo de 10.
Então -c + 2 é múltiplo de 10 e c = 2.
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 100a
9a - a^2 + b = 0
b = a*(a-9)
Como b >= 0 e a > 0, então a-9 >= 0 e a = 9.
Então b = 0.
Aqui encontramos uma solução, n = 9025.
> d = 6
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(12a - c) + 30
100*(10a - a^2 + b) = 100a +10*(2a - c + 3)
100*(9a - a^2 + b) = 10*(2a -c + 3)
Logo, 2a - c + 3 é múltiplo de 10.
O menor valor que 2a - c + 3 pode assumir é 0 e o maior, é 20.
Assim temos três opções:
Primeira opção : 2a - c + 3 = 0
equação : a*(9-a) + b = 0
Como a*(9-a) >=0, então b = 0.
Assim, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 21, que não satisfaz.
Segunda opção : 2a - c + 3 = 10
equação : a*(9-a) + b - 1 = 0
Como a*(9-a) >=0, então 1 - b >= 0 e b <= 1.
Então b = 0 ou b = 1.
Se b = 0, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 11, que não satisfaz.
Terceira opção : 2a - c + 3 = 20
equação : a*(9-a) + b - 2 = 0
Como a*(9-a) >=0, então 2 - b >= 0 e b <= 2.
Então b = 0 ou b = 1 ou b = 2.
Se b = 0, a*(9-a) = 2, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Finalmente, se b = 2, a*(9-a) = 0
Logo a = 9.
Como 2a - c + 3 = 20, então c = 1.
E aqui encontramos outra solução, n = 9216.
Conclusão:
n = 9025 ( sqrt(9025) = 95 ) ou
n = 9216 ( sqrt(9216) = 96 )
Abraços,
Vidal.
:: [EMAIL PROTECTED]
2008/10/27 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>
Meus amigos:
>
> Como se pode resolver ANALITICAMENTE o seguinte problema?
>
> Considere um número natural "n" de 4 algarismos: "a", "b", "c" e "d".
> Sabe-se que sqrt(abcd) = ad .
> Determine todos os valores possíveis de "n".
> Não considere a solução trivial: a=b=c=d=0 .
>
> Sei que podemos escrever:
> abcd = (ad)^2
> Logo: 1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2 = 100a^2 + 20ad + d^2
>
> Podemos, também, inferir que: d = {0, 1, 5, 6} .
>
> E daí???
>
> Obs.: Verifica-se que sqrt(9025) = 95 e sqrt(9216) = 96 .
> n = {9025, 9216}
>
> É claro que se pode "chutar" que: d=5 e c=2 .
> Daí: 1000a + 100b + 20 + 5 = 100a^2 + 100a + 25
> Simplificando: b/a = a - 9
> Sabe-se que b/a >= 0 .
> Logo: a = 9 e b = 0 .
>
> Pode-se, também, chutar que: d=6 e c=1 .
> Daí: 1000a + 100b + 10 + 6 = 100a^2 + 120a + 36
> E, após algum trabalho algébrico, se conclui que: a=9 e b=2 .
>
> Mas estas - é claro! - NÃO são soluções analíticas!
>
> Sds.,
> AB
> [EMAIL PROTECTED]
> [EMAIL PROTECTED]
>
