Olá Pedro.
Vamos ao item 1).
Os Polinômios de Chebyshev são muito importantes, tanto conceitualmente na
matemática como em aplicações como eletrônica, transmissão de calor, etc.
Uma forma de exprimí-los é T_n (x) = 2^(n-1) Multipliocatório j variando de 1 a
n de
{x - cos[(2j-1) pi / (2n)]} , forma esta muito interessante pois já identifica
as raizes do polinômio como os cossenos que aí constam.
Pode-se também gerar esses polinômios na forma usual e no caso estamos
interessados
no polinômio de grau 7 que vc. mesmo postou como
T_7 (x) = 64 x^7 - 112 x^5 + 56 x^3 -7x.
Por substituição direta vc. pode verificar que T_7 (-1) = -1 ou P(1) = T_7 (1)
+ 1 = 0.
Porquê tudo isso? Desejamos que as raizes de P{x} sejam cos(pi/7) , cos(3pi/7)
, cos(5pi/7), cujos inversos são as parcelas da soma pedida.
Muito bem; isso ocorre pois uma outra maneira de exprimir os Poliômios de
Chebyshev é
T_n (cos t) = cos(n.t)., logo T_7 { cos[(2j-1)pi / 7] } = cos {(2j-1)pi} = -1.
j=0,1,2...
A soma desejada realmente é dos inverso desses cossenos ( as secantes) ,
então precisamos do polinõmio onde os coeficientes de P(x) sejam na ordem
reversa das potências de x, ou seja :
Q(x) = 64 - 112 x^2 + 56 x^4 - 7x^6 + x^7 mas só interessam
os doia últimos coeficientes para saber as somas das raizes que é 7.
E o resto já sabemos, né?
[]'s
--- Em dom, 15/6/08, Alex pereira Bezerra <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Alex pereira Bezerra <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: Re: [obm-l] Dúvidas
Para: [email protected]
Data: Domingo, 15 de Junho de 2008, 20:15
a questão é tg(3pi/11) + 4sen(2pi/11)= raiz quadrada de 11,
Vamos lá: Tome p = pi/11, e tome c=cosp, s = senp, então c + is= e^pi e também
( c+ is)^11 = -1, isto é c^11 +11c^10si - 55c^9s^2 - 165c^8s^3i + 370c^7s^4 +
462c^6s^5i - 462c^5s^6 - 330c^4s^7i+165c^3s^8+55c^2s^9i-11cs^10-s^11i=-1. Agora
, 11c^10s- 165c^8s^3 + 462c^6s^5 - 330c^4s^7+55c^2s^9-s^11=-1
e como s diferente de zero, temos: 11c^10- 165c^8s^2 + 462c^6s^4
- 330c^4s^6+55c^2s^8-s^10=-1 e c^2 = 1 - s^2, dai fica:
11- 220s^2+1232s^4-2816s^6+ 2816s^8-1024s^10=0 e então
(11s-44s^3+32s^2)^2 -11c^2(1-4s^2)^2 = 121s^2 -968s^4
+2640s^6-2816s^8+1024s^10=0,isto prova que:
11s-44s^3+32s^5/c(1-4s^2) = +- raiz(11).
tg3p+4sin2p= 3tgp-tg^3p/1-3tg^2p + 8senpcosp = 3cs^2 -s^3/c^3-3s^2c + 8sc que
implica em:
tg3p + 4sin2p = 11s-44s^3+32s^5/c(1-4s^2) logo tg3p + 4sen2p = +-raiz de 11,
dai como tg3p > 0 e sen2p > 0, nós temos que : tg3pi/11 + 4sen2pi/11 =
raiz de 11
Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/
