Oi, João Carlos,
Tive uma idéia que não sei se frutifica, pois não estou muito
inspirado, mas veja se ajuda. (é uma solução não geométrica, no
sentido usual):
"Dada uma reta fixa, pense na transformação (não linear, é claro) que
associa a cada ponto do plano o seu simétrico com relação a tal reta".
1) Observe agora que dado um triângulo, a transformação T1, digamos,
que toma o simétrico de A, B e C com relação à reta suporte de AB
deixa A e B no mesmo lugar e coloca o ponto C onde você quer (ou
seja, no simétrico C' etc).
Como conseqüência, se você pensar nas 3 transformações T1, T2 e T3
(respectivamente que tomam o simétrico com relação às retas suporte
de AB, BC e CA), verá que o triângulo que você construiu tomando os
três simétricos é a imagem do triângulo original pela composta das 3
transformações T1, T2 e T3 (concorda?). Logo, a questão é saber se
a tal composta é fácil de analisar.
2) Vejamos: uma simetria com relação a uma reta pode ser decomposta
como soma de uma simetria (transformação linear com determinante
-1) e uma translação.
Pense na T1, por exemplo, assim: se a reta suporte de AB é a reta y =
px + q dá para calcular a imagem de um ponto (x; y) por T1:
T1( x, y) = T'(x, y) + 1/(p^2+1) . (2q; -2pq), onde a matriz da
transformação T' (simetria) possui linha 1 igual a [2p p^2 -1] e
segunda linha [ 1 - p^2 2p], ambas divididas por (p^2 +1). Dica:
Imponha que o ponto médio de CC' está nesta reta e que o coeficiente
angular da reta CC' vale -1/p (são ortogonais).
3) Agora: será que é fácil analisar a composição de T1, T2 e T3 sem
muito trabalho braçal?
Não me inpirei, mas fica aí a idéia. Naturalmente que vou tentar
uma solução geométrica mais tarde :-).
Abraços,
Nehab
At 08:33 25/7/2007, you wrote:
Até o momento, não sei como resolver essa questão não.
Seja um triangulo ABC com lados a, b, c.
X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC
Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC
Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB
Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ?
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
<http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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