Mas se MA>=MG seu valor minimo é MG. Preciso da igualdade, que ocorre
se x=y=z , nao é?
On 5/10/07, Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
On 5/10/07, Rafael <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que
> nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta):
>
> S = x+y+z >= 3(raiz cubica de xyz) (media aritm >=media geom.)
> igualdade em x=y=z
Por que você considera x=y=z ???
S = 3x
> x . y^2 . z^3 = x^6 = 864
> S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa.
>
>
> On 5/10/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.
> >
> > Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador
> de
> > Lagrange
> >
> > Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L,
> obtemos
> >
> > 1 - L y^2 z^3 =0
> > 1 - 2L xy z^3 =0
> > 1 - 3L x y^2 z^2 =0
> > x.y^2.z^3 - 864 = 0
> >
> > Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem
> >
> > 1 - 2 x/y = 0 => y = 2x
> >
> > 1 - 3x/z = 0 => z = 3x
> >
> > Substituindo na ultima, vem entao
> >
> > x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y =
> 2
> > raiz(2), z = 3 raiz(2)
> >
> > Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo,
> podemos
> > sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864.
> Assim,
> > atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z -> oo. Desta
> forma, a
> > solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A
> solucao
> > encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da
> > restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra
> > solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado
> > Lagrangeano). Como x + y + z >0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao
> > objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo
> global
> > sem entrarmos na matriz Hessiana.
> >
> > Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra
> solucao
> > sem usar o calculo, talvez ateh mais facil
> >
> > Artur
> >
> >
> >
> >
> > l
> >
> >
> >
> >
> > [Artur Costa Steiner]
> > sagem original-----
> > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de
> > Bruno Carvalho
> > Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06
> > Para: [email protected]
> > Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo
> >
> >
> >
> > Peço ajuda na resolução do seguinte problema.
> >
> > Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o
> mínimo
> > valor possível para x+y+z ?
> >
> > Opções:
> > a)6 raiz de 2
> > b)4raiz de três
> > c)9
> > d)6raiz de três.
> >
> > Desde já agradeço a ajuda.
> >
> > Bruno
> >
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> RAFAEL
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Henrique
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