Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que
nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta):
S = x+y+z >= 3(raiz cubica de xyz) (media aritm >=media geom.)
igualdade em x=y=z
S = 3x
x . y^2 . z^3 = x^6 = 864
S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa.
On 5/10/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.
Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de
Lagrange
Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos
1 - L y^2 z^3 =0
1 - 2L xy z^3 =0
1 - 3L x y^2 z^2 =0
x.y^2.z^3 - 864 = 0
Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem
1 - 2 x/y = 0 => y = 2x
1 - 3x/z = 0 => z = 3x
Substituindo na ultima, vem entao
x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y = 2
raiz(2), z = 3 raiz(2)
Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo, podemos
sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim,
atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z -> oo. Desta forma, a
solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao
encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da
restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra
solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado
Lagrangeano). Como x + y + z >0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao
objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global
sem entrarmos na matriz Hessiana.
Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao
sem usar o calculo, talvez ateh mais facil
Artur
l
[Artur Costa Steiner]
sagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
Bruno Carvalho
Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06
Para: [email protected]
Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Peço ajuda na resolução do seguinte problema.
Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo
valor possível para x+y+z ?
Opções:
a)6 raiz de 2
b)4raiz de três
c)9
d)6raiz de três.
Desde já agradeço a ajuda.
Bruno
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RAFAEL
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