Oi Arthur, Na verdade, "(1+1/n^(4/3))^(n^(4/3)) -> e" nao eh o mesmo que "(1+1/n^(4/3))^n -> e^(3/4)" pq o expoente 4/3 esta soh no n e nao no (1+1/n^(4/3))^n..
Acho inclusive que essa série diverge, pois como 2^x > 1+x*ln2 para x>0, temos Soma ( 2^(1/n) - 1) > ln2*Soma (1/n) ... Abraços, Marcio On 4/19/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Eu encontrei uma solucao um tanto artesanal. Partimos de lim (1 + 1/n)^n = e. Assim, temos tambem que lim (1 + 1/n^(4/3))^(n^(4/3)) = e, o que eh o mesmo que dizer que . lim (1 + 1/n^(4/3))^n = e^(3/4). Temos que e^(3/4) > (2,5)^(3/4) = (1 + 1,5)^(3/4) > 1 + 1,5 * 3/4 = 2,125 > 2 . Assim, para n suficientemente grande temos que (1 + 1/n^(4/3))^n > 2 Tomando a raiz enésima, vem 1 + 1/n^(4/3) > 2^(1/n) e, portanto, 1/n^(4/3) > 2^(1/n) - 1. Para n suficientemente grande, temos portanto que 0 < 2^(1/n) - 1 < 1/n^(4/3) Como 4/3 >1, a serie Soma 1/n^(4/3) converge. Por comparacao, concluimos entao que Soma ( 2^(1/n) - 1) converge, Abracos Artur . -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: quinta-feira, 19 de abril de 2007 12:50 Para: [email protected] Assunto: Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie A série começa com 2 e os termos vão diminuindo até zero, assim dá para suspeitar que converge porque o termo geral tende a zero. Mas o termo geral tender a zero, não é uma condição suficiente para convergência. Precisamos de um critério, como o da comparação. Eu tentaria, de imediato, algo do tipo: Pegaria uma série que eu sei que converge tal como a_n = 1/(2^n-1), cuja conclusão se tira pela comparação com a série geométrica, e b_n = 2^(1/n) - 1 e calcularia o limite a_n/b_n quando n -> infinito. Foi isso que você fez? Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Achei a analise da convergencia/divergencia desta serie interessante:Soma (n =1, oo) (2^(1/n) - 1)Conclui que converge.AbracosArtur
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
