(UFPB-65) Corta-se um pedaço de arame de comprimento d em dois outros que
deverão ser vergados nas formas de um quadrado e de um círculo,
respectivamente. Para que a soma das áreas destas figuras seja mínima, em que
razão o arame deve ser cortado.
Suponha que o pedaço de arame com comprimento d seja dividido em duas outra
partes com comprimentos a e b.
d = a + b
a = d - b (i)
Do pedaço com comprimento a iremos formar um quadrado de lado l, logo teremos
que
4l = a
l = a/4 (ii)
Do pedaço de arame com comprimento b iremos formar um círculo de raio r. O
perímetro do círculo é o comprimento da circunferência que a delimita, assim
teremos que
2.pi.r = b
r = b/(2.pi) (iii)
A soma das áreas destas figuras chamaremos S que será definida pela seguinte
lei de formação:
S = (l^2) + pi.(r^2) (iv)
Substituindo (ii) e (iii) em (iv) teremos:
S = [(a^2)/16] + [(b^2)/(4.pi)] (v)
Substituindo (i) em (v) teremos:
S = {[(d-b)^2]/16} + [(b^2)/(4.pi)]
S = [pi.(d^2) - 2.pi.d.b + pi.(b^2) + 4.(d^2)]/16.pi
S = [(4 + pi)/16.pi].(b^2) - (d/8).b + (d^2)/16
Agora temos S sendo uma função polinomial do segundo grau na variável b. Como
o coeficiente de b^2 é positivo podemos enteder que o valor de b que faz com
que S tenha o valor mínimo é a abcissa do vértice da parábola que serve como
gráfico a S, sendo assim:
b = (d/8)/[(4 + pi)/(8.pi)]
b = d.pi/(4 + pi) (vi)
Substituindo (vi) em (i)
a = d - d.pi/(4 + pi)
a = 4.d/(4 + pi)
Assim, para que a soma das áreas destas figuras seja mínima, devemos dividir
o arame de comprimento d na razão de b/a, i.e, [d.pi/(4 + pi)]/[4.d/(4 + pi)] =
pi/4
UFPB-89) O valor da expressão tg 41º.tg 42º......tg 49 é:
a) -1. b) 1. c) 0. d) rq3. e) rq2/2.
Sabemos que se a e b são ângulos complementares então
tgb = 1/tga
Na seqüência (tg 41º,tg 42º, ... ,tg 49º) temos 9 termos sendo o termo médio
tg45º e com o último termo igual ao inverso do primeiro, o penúltimo igual ao
inverso do segundo e assim sucessivamente. Nessa condições no produto tg 41º.tg
42º. ... .tg 49º o produto dos termos com valores inversos seria 1 e a tg45º =
1, sendo assim o valor da expressão é igual a 1.
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