Preciso de ajuda com o exerc�cio 3 da se��o IV.4 do livro Elementos de �lgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides):
a) Mostre que Z[raiz(3)] � isomorfo a Z[x]/(x^2-3).
b) Seja p um primo de Z. Mostre que p � um elemento primo de Z[raiz(3)] se e somente se o polin�mio x^2 - 3 � irredut�vel em (Z/pZ)[x].
Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) � o n�cleo do homomorfismo sobrejetor H:Z[x] -> Z[raiz(3)] dado por H(f(x)) = f(raiz(3)) e invocando o teorema dos homomorfismos.
No item (b) eu provei que se p � primo em Z[raiz(3)] ent�o x^2 - 3 � irredut�vel (de fato, eu provei o contrapositivo):
x^2 - 3 n�o � irredut�vel em Z_p[x] <==>
x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x] <==>
existe um inteiro a tal que a^2 == 3 (mod p) ==>
p divide a^2 - 3 = (a + raiz(3))(a - raiz(3)) em Z[raiz(3)].
Mas p n�o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois se dividisse, teria que dividir os coeficientes de raiz(3) respectivos, iguais a 1 e -1, o que � uma contradi��o, pois p � um primo de Z.
Logo, p n�o � primo em Z[raiz(3)].
No entanto, n�o estou conseguindo provar a rec�proca. Imagino que, de alguma forma, eu tenha que usar o item (a).
Qualquer ajuda ser� bem vinda.
[]s,
Claudio.
