estou meio enferrujado, nao sei se esta certo mas ai vai: Z[sqrt3] isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3) => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3)/(p) => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3 ,p) => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(p)/(x^2 - 3 ,p)/(p) => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Zp[x]/(x^2 - 3) Desde que x^2 -3 � irredutivel=primo(hipotese) em Zp[x](Zp[x] � DFU) =>Zp[x]/(x^2 - 3) � anel de integridade => Z[sqrt3]/(p) � anel de integridade => (p) � primo em Z[sqrt3].....
--- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Se p divide (a+b.raiz(3))(c+d.raiz(3)), entao p > divide > (a^2-3b^2)(c^2-3d^2), e logo p divide um desses > fatores, digamos a^2-3b^2. > Como x^2-3 'e irredutivel, e logo nao tem raiz em > Z/pZ, se p divide a^2-3b^2 > entao p divide b (senao b e' invertivel em Z/pZ, e > a/b e' raiz de x^2-3), e > logo p divide a, donde p divide a+b.raiz(3). > Abracos, > Gugu > > > > > >--_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759 > >Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 > >Content-Transfer-Encoding: quoted-printable > > > >Preciso de ajuda com o exerc=EDcio 3 da se=E7=E3o > IV.4 do livro Elementos= > > de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - > Projeto Euclides): > > > >a) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a > Z[x]/(x^2-3). > > > >b) Seja p um primo de Z. Mostre que p =E9 um > elemento primo de Z[raiz(3)]= > > se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9 > irredut=EDvel em (Z/pZ)[x]. > > > >Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) =E9 > o n=FAcleo do homomor= > >fismo sobrejetor H:Z[x] -> Z[raiz(3)] dado por > H(f(x)) =3D f(raiz(3)) e i= > >nvocando o teorema dos homomorfismos. > > > >No item (b) eu provei que se p =E9 primo em > Z[raiz(3)] ent=E3o x^2 - 3 =E9= > > irredut=EDvel (de fato, eu provei o > contrapositivo): > >x^2 - 3 n=E3o =E9 irredut=EDvel em Z_p[x] <=3D=3D> > >x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x] <=3D=3D> > >existe um inteiro a tal que a^2 =3D=3D 3 (mod p) > =3D=3D> > > > >p divide a^2 - 3 =3D (a + raiz(3))(a - raiz(3)) em > Z[raiz(3)]. > > > >Mas p n=E3o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois > se dividisse, teria q= > >ue dividir os coeficientes de raiz(3) respectivos, > iguais a 1 e -1, o que= > > =E9 uma contradi=E7=E3o, pois p =E9 um primo de Z. > >Logo, p n=E3o =E9 primo em Z[raiz(3)]. > > > >No entanto, n=E3o estou conseguindo provar a > rec=EDproca. Imagino que, de= > > alguma forma, eu tenha que usar o item (a). > > > >Qualquer ajuda ser=E1 bem vinda. > > > >[]s, > >Claudio. > > > >--_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759 > >Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 > >Content-Transfer-Encoding: quoted-printable > > > ><DIV>Preciso de ajuda com o exerc=EDcio 3 da > se=E7=E3o IV.4 do livro= > > Elementos de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves > Lequain - Projeto Euclides= > >):</DIV> > ><DIV> </DIV> > ><DIV>a) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a > Z[x]/(x^2-3).</DIV> > ><DIV> </DIV> > ><DIV>b) Seja p um primo de Z. Mostre que p =E9 um > elemento primo de Z[rai= > >z(3)] se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9 > irredut=EDvel em (Z/pZ)[x= > >].</DIV> > ><DIV> </DIV> > ><DIV>Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal > (x^2-3) =E9 o n=FAcleo do ho= > >momorfismo sobrejetor H:Z[x] -> > Z[raiz(3)] dado por H(f(x)) =3D f= > >(raiz(3)) e invocando o teorema dos > homomorfismos.</DIV> > ><DIV> </DIV> > ><DIV>No item (b) eu provei que se p =E9 primo em > Z[raiz(3)] ent=E3o x^2 -= > > 3 =E9 irredut=EDvel (de fato, eu provei o > contrapositivo):</DIV> > ><DIV>x^2 - 3 n=E3o =E9 irredut=EDvel em > Z_p[x] <=3D=3D></DIV>= > > > ><DIV>x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x] > <=3D=3D></DIV> > ><DIV>existe um inteiro a tal que a^2 =3D=3D 3 > (mod p) =3D=3D></DI= > >V> > ><DIV> </DIV> > ><DIV>p divide a^2 - 3 =3D (a + raiz(3))(a - > raiz(3)) em Z[raiz(3)].<= > >/DIV> > ><DIV> </DIV> > ><DIV>Mas p n=E3o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) > pois se dividisse, te= > >ria que dividir os coeficientes de > raiz(3) respectivos, iguais a 1 e= > > -1, o que =E9 uma contradi=E7=E3o, pois p =E9 um > primo de Z.</DIV> > ><DIV>Logo, p n=E3o =E9 primo em Z[raiz(3)].</DIV> > ><DIV> </DIV> > ><DIV>No entanto, n=E3o estou conseguindo provar a > rec=EDproca. Imagino qu= > >e, de alguma forma, eu tenha que usar o item > (a).</DIV> > ><DIV> </DIV> > ><DIV>Qualquer ajuda ser=E1 bem vinda.</DIV> > ><DIV> </DIV> > ><DIV>[]s,</DIV> > ><DIV>Claudio.</DIV> > ><DIV> </DIV> > > > >--_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759-- > > > >========================================================================= > >Instrugues para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > "O Bin�mio de Newton � t�o belo como a V�nus de Milo. O que h� � pouca gente para dar por isso... " Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _________________________________________________________________ As informa��es existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) s�o para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso n�o seja destinat�rio, saiba que leitura, divulga��o ou c�pia s�o proibidas. Favor apagar as informa��es e notificar o remetente. O uso impr�prio ser� tratado conforme as normas da empresa e a legisla��o em vigor. Agradecemos sua colabora��o. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ____________________________________________________Yahoo! 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