on 11.05.05 17:12, Chicao Valadares at [EMAIL PROTECTED] wrote: > estou meio enferrujado, nao sei se esta certo mas ai > vai: > > Z[sqrt3] isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3) > => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3)/(p)
Oi, Chicao: Vou escrever os detalhes pra guardar esta solucao no meu arquivos. O p do lado esquerdo eh um elemento de Z[raiz(3)] e o p do lado direito um elemento de Z[x]/<x^2-3>. Assim, um elemento tipico do ideal <p> da esquerda eh: (a + b*raiz(3))*p (a, b em Z) enquanto que do ideal <p> da direita eh: (a + b*x + <x^2-3>)*(p + <x^2-3>) = (a + b*x)*p + <x^2-3> Como os dois aneis sao isomorfos, voce pode fazer a identificacao. O isomorfismo original leva a + b*raiz(3) em a + b*x + <x^2-3>. Nos aneis quociente, ele leva: a + b*raiz(3) + <p> em a + b*x + <x^2-3> + <p> = a + b*x + <x^2-3,p>. > => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3 ,p) Elemento tipico do anel quociente da esquerda: a + b*raiz(3) + <p>, com a, b em Z. Elemento tipico do anel quociente da direita: a + b*x + <x^2-3,p>, onde 0 <= a,b <= p-1. Isso quer dizer que estes aneis quociente tem p^2 elementos cada. > => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(p)/(x^2 - 3 ,p)/(p) Esse eh o 3o. teorema dos isomorfismos. Foi nesse ponto que eu empaquei, pois nao me lembrei dele. Boa sacada! Z[x]/<p> ~ (Z/<p>)[x] ~ Z_p[x]. <x^2 - 3,p>/<p> ~ <x^2 - 3>. Logo: > => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Zp[x]/(x^2 - 3) > Desde que x^2 -3 � irredutivel=primo(hipotese) em > Zp[x](Zp[x] � DFU) =>Zp[x]/(x^2 - 3) � anel de > integridade => > Z[sqrt3]/(p) � anel de integridade => (p) � primo em > Z[sqrt3]..... > Excelente! Muito obrigado. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
