� f�cil ver que, para qualquer P no interior do tri�ngulo, vale:
ax + by + cz = 2A, onde A = �rea do triangulo.
Voc� quer o valor m�nimo de F(x,y,z) = a/x + b/y + c/z.
2A*F(x,y,z) =
(ax + by + cz)*(a/x + b/y + c/z) =
a^2 + b^2 + c^2 + ab(x/y + y/x) + ac(x/z + z/x) + bc(y/z + z/y) >=
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc =
(a + b + c)^2.
Acima eu usei a desigualdade bem conhecida z + 1/z >= 2 se z > 0, com igualdade <==> z = 1.
Logo, o valor m�nimo de 2AF(x,y,z) (e, portanto, de F(x,y,z)) ocorre quando x/y = y/z = x/z = 1, ou seja, quando x = y = z <==> P � o incentro.
O valor m�nimo de F(x,y,z) � igual a (a + b + c)^2/(2A).
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | "Lista OBM" [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Mon, 4 Apr 2005 07:34:58 -0300 |
| Assunto: | [obm-l] Geometria |
> Seja P um ponto no interior de um tri�ngulo e sejam x, y e z as dist�ncias de P aos lados de comprimentos a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor m�nimo de (a/x)+(b/y)+(c/z) ocorre quando P � o incentro do tri�ngulo.
>
> Desde j� agrade�o!!!
