Ol� Vinicius.
Ser� que vc procurou direito?
Eureka! 8, p�gina 60 - "Problemas propostos"
"Se a e b s�o n�meros reais positivos, ent�o a^b+b^a>1"
A solu��o � muito simples e est� na Eureka! 10, p�gina 42 - "Solu��es de probemas propostos".
A prova � muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade � imediata. Assim "os alunos do CEMPI" fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos.
a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a
notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que 1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1))
somando as desigualdades chegamos ao resultado.
A desigualdade � demonstr�vel atraves de C�lculo.
[]'s.
> Oi Vinicius,
> Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - mas
> usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um tanto
> intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui. Falta dar
> uma revisada, posso ter cometido algum engano.
> Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) x (0,1)
> e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar (x,y) em
> (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase sempre
> apresentam algo interessante em e ou em 1/e.
> Artur
>
>
> ------- Mensagem Original --------
> De: [email protected]
> Para: "[email protected]"
> Assunto: [obm-l] Probleminha....
> Data: 24/12/04 02:26
>
>
> N�o achei a resolu�ao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa me
> esclarecer ficarei muito grato:
>
>
> X^y+y^X>1
>
> Um �timo Natal a todos e a suas fam�lias!!!!
>
>
> Vin�cius Meireles Aleixo
>
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> @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
Engenharia El�trica, 2�ano
UNESP - Ilha Solteira
