Eu usei calculo, tambem acaba sendo simples. Eh facil mostrar que so precisamos nos deter no conjunto (0,1/e) x (0,1/e). Para isto, observamos que se 0 < y < 1 e x>=1/e, entao f(x,y) = x^y + y^x > (1/e)^y + y = e^(-x) + y = g(y). Eh facil ver, igualando a zero sua derivada, que esta funcao tem um minimo global em x = 0 e que, portanto, g(y) >= g(0) = 1 para todo real y. Por simetria, isto leva nosso interese ao conjunto 0,1/e) x (0,1/e). Determinando a derivada parcial de f com relacao a x e igualando a zero, obtermos y*(x^(y-1)) = - (y^x)*ln(y) = 0. Fazeno o mesmo com a derivada parcial com relacao a y, obtemos uma equacao similar permutando-se x e y. Este sistema aparentemente tenebroso nao eh assim tao assuatador, pois se multiplicarmos as equacoes chegamos aa interessante conclusao de que, no ponto que anula o gradiente, ln(x)*ln(y) =1. Como estamos interesados em 0,1/e) x (0,1/e), isto nos mostra que,neste conjunto, a unica solucao possivel eh x = y=1/e, tendo-se que f(1/e, 1/e) > 1. Se (1/e, 1/e) for ponto de minimo, entao, como f(x,y) -> 1 na fronteira do conjunto temos a desigualdade. Mas , na realidade este nao eh um ponto de minimo, conforme podemos ver se determinarmos a matriz Hessiana de f. De qualquer forma a desigualdae vale, pois f >1 na fronteira. Outra forma de resolver sem derivadas parcias eh analisa o comportamento de f para 0<y<=x<1/e. Podem dizer que eu compliquei, mas, na realidade, estes conceitos de calculo sao bastante simples. Artur
--------- Mensagem Original -------- De: [email protected] Para: "obm-l" <[email protected]> Assunto: Re: [obm-l] Probleminha.... Data: 28/12/04 06:18 Ol� Vinicius. Ser� que vc procurou direito? Eureka! 8, p�gina 60 - "Problemas propostos" "Se a e b s�o n�meros reais positivos, ent�o a^b+b^a>1" A solu��o � muito simples e est� na Eureka! 10, p�gina 42 - "Solu��es de probemas propostos". A prova � muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade � imediata. Assim "os alunos do CEMPI" fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos. a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que 1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1)) somando as desigualdades chegamos ao resultado. A desigualdade � demonstr�vel atraves de C�lculo. []'s. > Oi Vinicius, > Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - mas > usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um tanto > intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui.. Falta dar > uma revisada, posso ter cometido algum engano. > Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) x (0,1) > e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar (x,y) em > (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase sempre > apresentam algo interessante em e ou em 1/e. > Artur > > > ------- Mensagem Original -------- > De: [email protected] > Para: "[email protected]" > Assunto: [obm-l] Probleminha.... > Data: 24/12/04 02:26 > > > N�o achei a resolu�ao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa me > esclarecer ficarei muito grato: > > > X^y+y^X>1 > > Um �timo Natal a todos e a suas fam�lias!!!! > > > Vin�cius Meireles Aleixo > > ________________________________________________ > OPEN Internet e Inform�tica > @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia El�trica, 2�ano UNESP - Ilha Solteira ________________________________________________ OPEN Internet e Inform�tica @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
