Declaro resolvida a questao do quadrilatero inscritivel. Para os que nao conhecem, Luiz Lopes eh um expert em construcoes geometricas. Ele eh um excelente matematico e publicou varios livros sobre diversos assuntos. Um deles se chama "Manual de construcao de Triangulos" que eh uma verdadeira preciosidade. Vai ser dificil achar um livro sobre o assunto que ele ainda nao tenha, mas vou procurar descobrir. Abracos, Wagner.
---------- >From: Lu�s Lopes <[EMAIL PROTECTED]> >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel] >Date: Tue, Nov 9, 2004, 6:41 PM > > Sauda,c~oes, > > Oi Claudio, > > === >>O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo >>Wagner. > === > Poderia ser o caso se n�o tivesse enviado a solu��o de > Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, 1952. > > Talvez esse problema esteja no FG-M tamb�m. N�o olhei. > > As primeiras tentativas de solu��o da lista para este problema > baseavam-se na constru��o de elementos obtidos algebricamente > (diagonais e circumraio, se me lembro bem). > Pergunto: tendo-se mostrado que o problema tem uma solu��o > alg�brica, ser� que SEMPRE podemos obter uma solu��o > geom�trica? Penso que sim, depois de ver solu��es > geom�tricas para muitos problemas onde achava que s� a > solu��o bruta alg�brica seria poss�vel. > > Proponho ent�o dois problemas para os quais tenho somente > sols. alg�bricas. Ser� que existiriam sols. geom. tamb�m??? > > Construir o tri�ngulo ABC dados: > > 1) A, m_a, r > 2) A, m_a, r_a > > A=�ngulo, m_a = mediana que parte de A; r (in-raio) r_a (ex-raio). > > Amanh� proponho mais um de quadril�tero. > > []'s > Luis > > >>From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: <[EMAIL PROTECTED]> >>Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel >>Date: Tue, 09 Nov 2004 17:36:58 -0200 >> >>on 08.11.04 12:35, Lu�s Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> > >> > Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta >> > sim�trica do lado AD com rela��o � bissetriz do �ngulo BAC. >> > >> > Lema: a reta m cont�m um e somente um ponto O tal que o /_ AOB = /_ ACD >>. >> > O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD � c�clico. >> > >>Agora faz sentido! >> >> > Dos tri�ngulos ACD e AOB, temos /_ ABO = /_ ADC . >> > >> > Assim, se ABCD � c�clico, o ponto O est� no lado BC; e somente nesse >>caso, >> > pois, reciprocamente, se O est� em BC ent�o ABCD � c�clico. >> > >> > Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD � c�clico. >> > >> > Na dem. do lema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d. >> > >>Pois os triangulos OBA e CDA sao semelhantes. >> >> > Da� a const. que segue: >> > >> > 1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d >> > (com B entre O e > C). Isso implica que OC = (ac + bd)/d = xy/d. >> > >> > 2) um lg para A � o c�rculo (B,a). O outro � um c�rc. de Apol�nio >> > considerando os pontos O e C. >> > >>Ou seja, A pertence ao l.g. dos pontos X tais que |XO|/|XC| = a/d. >> >>Legal, com A construido, basta tracar os circulos (A,d) e (C,c), cujo ponto >>de interseccao no interior do angulo ABC eh justamente D. >> >>O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo >>Wagner. >> >>[]s, >>Claudio. >> > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
