A forma mais simples de mostrar isto talvez seja por L'Hopital. Mas hah uma outra forma, tambem simples e elegante, baseada na definicao da funcao exponencial, por serie de pot�ncias. Eh suficiente mostrar que a condicao vale para polinomios simples do tipo P(x) = x^n. Temos que e^x = 1+ x...+x^n/n!.....Para todo inteiro n>=1 e todo x>0, temos entao que e^x > (x^(n+1))/(n+1)!. Logo, e^x/x^n > ((x^(n+1))/(n+1)!)/x^n = x/(n+1)! . Fixando-se n, eh imediato que o segundo menbro tende a inf quando x-> inf. E como o primeiro membro domina o segundo, temos a conclusao desejada, que vale para todo inteiro n. E eh facil concluir que isto permanece valido para todo real n. Artur
--------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re:[obm-l] Limites Data: 28/07/04 12:46 Acho este modo um pouco mais elementar...Na verdade foi uma questao da Olimpiada Paulista... Veja que para x>0 vale: (e^x)>1+x. Entao e^x=((e^(x/2))^2)>(1+(x/2))^2=1+x+((x^2)/4), e assim vemos que exp cresce mais rapido que x. Podemos, no lugar de x/2, usar x/k e ver que e^x cresce mais rapido que qualquer monomio em x. Com isso, e facil concluir! [EMAIL PROTECTED] wrote: Outra maneira seria tomar f(x) = log [(a^x)/x] = x*log a - log x, com a > 1. Se isso tende a infinito, ent�o (a^x)/x tamb�m tende. f'(x) = log a - (1/x). Se x > 2/log a, f'(x) � sempre maior que (1/2)*log a pois � crescente. Assim, f(x) - f(c) = I(x,c)[f'(x)] >= I(x,c)[(1/2)*log a] = (1/2)*(log a)* (x - c), onde I(x,c)[f(x)] denota a integral definida de f(x) de c at� x. Logo, f(x) >= (1/2)*(log a)*(x-c) + f(c), e obviamente f(x) tende a infinito, e, como conseq��ncia, (x/e^x) tende a zero, tomando a = e. Resta mostrar que x^a/e^x tende a zero. Para isso, basta mostrar que e^x/x^a tende a infinito. De fato, tomando e = b^a (b > 1), temos que a a-�sima raiz de e^x/x^a ser� b^x/x, e, como b > 1, temos b^x/x -> +oo. Logo, e^x/x^a -> +oo. Como p(x) eu creio que seja um polin�mio qualquer, ! ent�o podemos separ�-lo em fra��es simples da forma x^a/e^x, que tendem todas a zero. []s, Daniel agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antiv�rus gr�tis! ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
