Acho este modo um pouco mais elementar...Na verdade foi uma questao da Olimpiada Paulista...
Veja que para x>0 vale: (e^x)>1+x.
Entao e^x=((e^(x/2))^2)>(1+(x/2))^2=1+x+((x^2)/4), e assim vemos que exp cresce mais rapido que x.
Podemos, no lugar de x/2, usar x/k e ver que e^x cresce mais rapido que qualquer monomio em x. Com isso, e facil concluir!
[EMAIL PROTECTED] wrote:
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Outra maneira seria tomar f(x) = log [(a^x)/x] = x*log a - log x, com a > 1.
Se isso tende a infinito, ent�o (a^x)/x tamb�m tende.
f'(x) = log a - (1/x).
Se x > 2/log a, f'(x) � sempre maior que (1/2)*log a pois � crescente.
Assim, f(x) - f(c) = I(x,c)[f'(x)] >= I(x,c)[(1/2)*log a] = (1/2)*(log a)*
(x - c), onde I(x,c)[f(x)] denota a integral definida de f(x) de c at� x.
Logo, f(x) >= (1/2)*(log a)*(x-c) + f(c), e obviamente f(x) tende a
infinito, e, como conseq��ncia, (x/e^x) tende a zero, tomando a = e.
Resta mostrar que x^a/e^x tende a zero. Para isso, basta mostrar que e^x/x^a
tende a infinito.
De fato, tomando e = b^a (b > 1), temos que a a-�sima raiz de e^x/x^a ser�
b^x/x, e, como b > 1, temos b^x/x -> +oo. Logo, e^x/x^a -> +oo.
Como p(x) eu creio que seja um polin�mio qualquer, ent�o podemos separ�-lo
em fra��es simples da forma x^a/e^x, que tendem todas a zero.
[]s,
Daniel
Osvaldo ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
>
>Ol�.
>
>> 2) Prove que Lim p(x)/e^x = 0 quando x tende a
>infinito.
>
>Temos uma indetermina��o do tipo +oo/+oo.
>Aplica-se L'Hospital at� zerar o numerador, e observe
>que o denominador permanece inalterado, por se tratar
>da fun��o exponencial. Assim teremos o limite da
>constante 0, que d� zero. Acho que � isso, falou.
>
>
>
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>Atenciosamente,
>
>Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira
>Osvaldo Mello Sponquiado
>Usu�rio de GNU/Linux
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CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
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