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Queria ajuda da turma em algumas quest�es:
2) O
polin�mio X a quarta + X� - 2x + 6 adimite 1+ i como raiz, onde i� = -1. O
n�mero de ra�zes reais desse polin�mio �:
a)0 b) 1 c)2 d)3
e)4
[Solucao] (a notacao a^b significa "a elevado a
b")
A resposta eh a) 0. Veja: como o grau do polinomio eh 4,
ele tem no maximo 4 raizes. Ha um teorema que garante que se um polinomio
tem coeficientes reais e a+bi eh raiz, entao a-bi tambem eh raiz. Como 1+i eh
raiz, entao 1-i tambem eh raiz. Como o polinomio em questao se
divide por (X-(1+i)) (porque 1+i eh raiz) e por (X-(1-i)) (porque 1-i tambem
eh raiz) entao o polinomio se divide exatamente por
(X - (1+i))(X - (1-i)) = X^2 - 2X
+ 2.
Realizando a divisao obtemos o quociente
X^2 + 2X + 3, logo
X^4 + X^2 - 2X + 6 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X +
3)
como nem X^2 - 2X + 2 nem X^2 + 2X + 3
tem raizes reais, entao
X^4 + X^2 -2X + 6 tambem nao tem raizes
reais.
Resposta: a) 0
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