Ol� Vitor,
O c�lculo da medida do lado AB � muito simples e direto, bastando
utilizar uma �nica vez o teorema de Stewart. A fim de tornar a quest�o um
pouco mais interessante, eu modifiquei o enunciado para pedir as medidas dos
outros tr�s lados do quadril�tero, ou seja, AB, CD e DA e n�o somente AB.
QUEST�O COM O ENUNCIADO EXTENDIDO:
As diagonais AC e BD de um quadril�tero ADCB se encontram em E. Se AE = 2,
BE = 5, CE = 10, DE = 4 e BC = 15/2, calcule os outros tr�s lados do
quadril�tero: AB, CD e DA.
OBSERVA��O:
Eu utilizarei o Teorema de Stewart, algumas vezes denominado Teorema de
Apollonius, para resolver esta quest�o. Segue um enunciado poss�vel para o
Teorema de Stewart.
TEOREMA DE STEWART:
Seja ABC um tri�ngulo qualquer e P um ponto interno do lado BC (AP � uma
ceviana interna relativa ao lado BC), ent�o vale a seguinte rela��o:
AB^2/(BP.BC) + AC^2/(CP.CB) - AP^2/(PB.PC) = 1
(O Teorema de Stewart pode ser facilmente demonstrado pela aplica��o da lei
dos co-senos nos tri�ngulos APB e APC.)
RESOLU��O POSS�VEL DA QUEST�O COM O ENUNCIADO EXTENDIDO:
No tri�ngulo BAC, E � um ponto interno do lado AC, ent�o:
BA^2/(AE.AC) + BC^2/(CE.CA) - BE^2/(EA.EC) = 1
BA^2/(2.12) + (15/2)^2/(10.12) - 5^2/(2.10) = 1
BA^2/24 + 15/32 - 5/4 = 1
BA^2/24 = 57/32
BA^2 = (9.19)/4
BA = 3.sqr(19)/2 (RESPOSTA DA QUEST�O ORIGINAL)
No tri�ngulo ADB, E � um ponto interno do lado DB, ent�o:
AD^2/(DE.DB) + AB^2/(BE.BD) - AE^2/(ED.EB) = 1
AD^2/(4.9) + [3.sqr(19)/2]^2/(5.9) - 2^2/(4.5) = 1
AD^2/36 + 19/20 - 1/5 = 1
AD^2/36 = 1/4
AD^2 = 9
AD = 3
Os tri�ngulos AEB e DEC s�o semelhantes pelo crit�rio LAL, pois:
<AEB = <DEC (�ngulos opostos pelo v�rtice)
AE/DE = 2/4 = 1/2
EB/EC = 5/10 = 1/2
Pela propriedade transitiva da igualdade: AE/DE = EB/EC
Da semelhan�a podemos concluir que:
BA/CD = 1/2 = AE/DE = EB/EC
CD = 2.BA => CD = 2.[3.sqr(19)/2] => CD = 3.sqr(19)
RESPOSTA DA QUEST�O EXTENDIDA:
AB = 3.sqr(19)/2 (RESPOSTA DA QUEST�O ORIGINAL), CD = 3.sqr(19) e AD = 3.
Atenciosamente,
Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Vitor Dias
Sent: domingo, 6 de junho de 2004 01:23
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3
Fiz a prova...achei bem legal, e muito bem elaborada! foi um otimo
treinamento,
jah q vou prestar concurso para o CN e para EPCAr...(alem do que sou um
eterno apaixonado pela matematica hehe)
bem, vou deixar uma questao legal de geometria plana, tirada do livro
Challenging
Problems in Geometry, de Alfred S. Posamentier e Charles T. Salkind:
As diagonais AC e BD de um quadrilatero ADCB se encontram em E. Se AE=2,
BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2, calcule AB.
Divirtam-se!!!
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
