Okay!, valeu, entendi.
> Oi, Osvaldo: > > A solucao que eu tinha em mente usa o fato de que a derivada (n+1)-esima de > uma funcao polinomial de grau n eh a funcao identicamente nula e obtem uma > contradicao a partir disso, pois as derivadas de ordem superior da funcao > cosseno nunca sao identicamente nulas. > > De uma olhada na solucao do Fabio. > > Por outro lado, acho que o caminho que voce tomou eventualmente chega lah, > mas a algebra pode ficar meio enrolada, com voce deve ter percebido. Alem > disso, ha um erro no coeficiente de x^1 do lado esquerdo, o qual deveria ser > 4*a_1*a_2 + 2*a_1*a_0 = 2*a_1*(2*a_2 + a_0). > > Uma forma melhor eh comecar supondo que cos(x) seja um polinomio de grau n. > Claramente, n >= 1, pois cos(x) nao eh constante. > Nesse caso, expandindo cos^2(x) + sen^2(x), obtemos que o coeficiente de > x^(2n) serah igual a a_n^2. > Mas cos^2(x) + sen^2(x) = 1. Logo, a_n^2 = 0 ==> > a_n = 0 ==> > cos(x) tem grau no maximo (n-1) ==> > contradicao ==> > cos(x) nao pode ser um polinomio. > > []s, > Claudio. > > on 01.06.04 01:35, Osvaldo at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor > > encontrem meu erro! > > > > Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio. > > cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao > > simultaneamente nulos. > > > > Derivando vem que cos'x = sen x = > > a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1) > > > > Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem: > > > > [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+ > > [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1 > > > > Logo, temos que > > a_1^2+a_0^2=1 (*) > > 4.a_2^2+a_1^2=0 > > . > > . > > . > > > > n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0 > > > > Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 s�o > > ambos nulos. logo a_1=0 (**) > > > > Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e > > logo que a_0 � 1. > > > > Acho que isso � uma contradi�ao, pois x varre o > > intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for est� provado, > > mais acho que devo ter errado em algum lugar, se > > puderem me enviem o erro. At� > > > >> Uma versao um pouco mais dificil: > >> > >> Sejam a e b numeros reais com a < b. > >> Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) > >> nao eh uma funcao polinomial. > >> > >> Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se > > aplica... > >> > >> []s, > >> Claudio. > >> > >> > > > ======================================================== ================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================== ================= > Atenciosamente, Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usu�rio de GNU/Linux __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - � gr�tis! http://antipopup.uol.com.br/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
