Meu caro Cl�udio,
estava olhando com detalhes essa sua �ltima solu��o e acho que h�
dois pequen�ssemos erros, os quais n�o interferem na solu��o, pelo
menos � o que acho:
Se h:[a,b] -> R � definida por h(x) = f(a) + M(x - a) tem-se que h(a) = f(a)
e n�o h(a) = 0 e como k:[a,b] --> R foi definida como k(x) = f(x) - h(x),
tem-se que k(a) = f(a) - h(a) = f(a) - f(a) = 0 e n�o k(a) = f(a).
PS.: Acho que esses pequen�ssemos erros s�o despres�veis em rela��o
a sua bela solu��o, at� porque n�o consigui v� a necessidade de se
analisar os valores que h e k assumem em a.
Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Oi, Eder:
Aqui vai uma solucao simplificada que leva em conta seus comentarios, alias, todos pertinentes.
Seja M = valor maximo atingido pela funcao |f'| no intervalo [a,b].
Obviamente, M >= 0.
Seja h:[a,b] -> R definida por:
h(x) = f(a) + M(x - a)
Entao:
h(a) = 0
e
h'(x) = M >= 0, para todo x em [a,b] ==> h eh nao-decrescente.
Seja k:[a,b] -> R definida por:
k(x) = f(x) - h(x)
Entao:
k(a) = f(a) - h(a) = f(a)
e
k'(x) = f'(x) - h'(x) <= |f'(x)| - M <= M - M = 0 ==> k eh nao-crescente.
Alem disso, f = h + k.
[]s,
Claudio.
on 01.06.04 08:36, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Meu caro Cl�udio,
achei muito legal a forma com que voc� resolveu o problema, mas n�o consegui enteder o por qu� de definir inicialmente f(0) = 0. Al�m disso, n�o consegui enteder tamb�m sua conclus�o, ou seja, dada f:[a,b] -> R de classe C^1, basta considerarmos a fun��o:
F:[0,1] -> R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, reca�mos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), onde g � n�o crescente e r � n�o decrescente.
OBS.: Ao inv�s de definir h(x) = (M+1)x n�o seria melhor definir h(x) = Mx ? Pois assim ter�amos h n�o descrescente e, consequentemente, k n�o cresecente, como pedido no problema. Isso foi s� uma pergunta!!!, n�o sei se estou certo.
Cl�udio_(Pr�tica) <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Interessante esse problema!
Suponhamos, inicialmente, que o intervalo � [0,1] e que f(0) = 0.
Como f � C^1 em [0,1], f' existe e � cont�nua em [0,1].
Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]).
Ent�o g tamb�m � cont�nua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor m�ximo, igual a M, nesse intervalo.
� claro que M >= 0.
Seja h:[0,1] -> R dada por:
h(x) = (M+1)x.
h � claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0.
Seja k:[0,1] -> R dada por:
k(x) = f(x) - (M+1)x.
k eh de classe C^1 e k(0) = 0.
Al�m disso, para todo x em [0,1],
k'(x) = f'(x) - (M+1) <= |f'(x)| - (M+1) < 0.
Logo, k eh decrescente em [0,1].
� claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x).
Ou seja, o resultado est� provado para uma fun�ao definida em [0,1] com f(0) = 0.
A generaliza��o para o caso geral � f�cil.
Se f:[a,b] -> R � de classe C^1, basta considerar a fun��o:
F:[0,1] -> R dada por:
F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a)
que voc� recai no caso provado acima.
� claro que F � de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0.
[]s,
Claudio.
----- Original Message -----
From: Lista OBM <mailto:[EMAIL PROTECTED]>
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AM
Subject: [obm-l] fun��o de classe C^1
Gostaria de saber se algu�m poderia me ajudar com o seguite problema:
Mostre que se f: [a,b] --> � de classe C^1, ent�o f pode escrita como a soma de uma fun��o n�o crescente com uma uma fun��o n�o decrescente.
Grato, �der.
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