E aqui um exemplo de uma funcao f:R^2 -> R que possui derivadas parcias em (0,0) mas naum todas as direcionais.
f(x,y) = x+ y se x =0 ou se y=0 f(x,y) =1, para todos os outros pares (x,y) No eixo horizontal (y=0), f(x,0) = x e df/dx(0,0) =1. Analogamente, df/dy(0,0) =1. Mas, se nos aproximarmos de (0,0) segundo qualquer vetor u naum paralelo aos eixos, temos, para todo real t<>0, que (f(t*u) - f(0,0))/t = 1/t, que naum apresenta limite quando t->0. Logo, as 2 derivadas parciais de f existem em (0,0), mas nenhuma outra derivada direcional existe neste ponto. Alem disto, verificamos tambem que f eh descontinua em (0,0). Este exemplo considera uma funcao um tanto patologica, mas hah outros com funcoes mais razoaveis. Artur --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > D� uma olhada na mensagem que o Artur enviou ontem e > que o Paulo Santa Rita destacou. > > O problema � que, ao contr�rio do caso > uni-dimensional, a exist�ncia de todas as derivadas > parciais de uma fun��o em todos os pontos do seu > dom�nio (suposto ser um subconjunto aberto do R^n, n > > 1) � uma condi��o relativamente fraca, que n�o > garante nem que a fun��o � cont�nua. > > Por exemplo, tome f: R^2 -> R dada por: > f(0,0) = 0 > e > f(x,y) = xy/(x^2 + y^2), se (x,y) <> (0,0) > > Para garantir continuidade, por exemplo, precisamos > supor adicionalmente que o dom�nio � convexo e que > as derivadas parciais s�o limitadas (condi��es que > s�o suficientes mas n�o necess�rias para > continuidade). > > O moral da hist�ria � o seguinte: > A exist�ncia de todas as derivadas parciais de f, a > exist�ncia de todas as derivadas direcionais de f, e > a diferenciabilidade de f s�o tr�s condi��es bem > diferentes no R^n, quando n > 1. > > []s, > Claudio. > > > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:[EMAIL PROTECTED] > > C�pia: > > Data:Thu, 6 May 2004 23:42:45 -0300 > > Assunto:Re: [obm-l] Uma certa confusao > > > > > Ol� amigos. > > Qual � o problema com as derivadas parciais? > > > > Um abra�o, > > > > Gabriel > > > > ----- Original Message ----- > > From: "Artur Costa Steiner" > > Subject: [obm-l] Uma certa confusao > > > > > > > Eu acho que neste problemas sobre derivadas > parciais > > > que tem circulado na lista estah havendo uma > certa > > > confusao. > > > > > ========================================================================= > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > __________________________________ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
