on 29.03.04 14:04, Luis Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Conclu� o seguinte (no que segue estou > lidando com n�meros construt�veis - NC): > > As ra�zes de uma qu�rtica ser�o NC se e > somente se a c�bica resolvente possuir uma > raiz racional. > Oi, Luis:
Esse seu argumento da cubica resolvente foi o que me convenceu da nao-validade em geral do resultado que eu mencionei. E o resultado acima faz sentido pois se a cubica resolvente tem alguma raiz racional, entao as outras serao raizes de uma equacao quadratica com coeficientes racionais. Assim, se forem reais e positivas, entao serao construtiveis. Logo, as raizes da quartica original tambem serao construtiveis, por serem da forma: raiz(a) + raiz(b) + raiz(c), onde a, b, c sao as raizes da cubica resolvente. Nos demais casos e na reciproca eu preciso pensar com mais calma. De qualquer forma, muito obrigado pela resposta. > Podemos mostrar que a qu�rtica p(x)= > 100x^4-780x^3+371x^2+6860x-9604 > n�o possui NC. > > Por outro lado, considere o p(x)= > (4a^2h^2 + t^4 - 4a^2t^2)x^4 + > (8a^3t^2 - 4at^4)x^3 + > (6a^2t^4 - 4a^4t^2)x^2 - 4a^3t^4 x + a^4t^4 . > > Gostaria de saber se algu�m pode encontrar > a,h,t (NC) de modo que as ra�zes de p(x) N�O > sejam NC . > Uma ideia eh eliminar o termo em x^3 da equacao acima e ver se a cubica resolvente tem alguma raiz racional, mas as contas me parecem assustadoras! []s, Claudio. > Acho que se |h| <= |a| as ra�zes s�o SEMPRE > NC. Para |h| > |a| eu n�o sei. > > []'s > Lu�s > > > -----Mensagem Original----- > De: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > Para: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Enviada em: domingo, 28 de mar�o de 2004 16:05 > Assunto: [obm-l] Numeros construtiveis > > >> Oi, pessoal: >> >> Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a > partir >> de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio > irredutivel >> com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2. >> >> Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja >> raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a >> alguma potencia de 2 eh construtivel? >> >> Em caso afirmativo, existe alguma demonstracao disso sem usar teoria de >> Galois (que eu ainda nao conheco) mas apenas conceitos mais simples de >> extensoes de corpos (que eh tudo o que eu sei no momento)? (ou seja, > apenas >> material daquele capitulo dos livros de algebra que introduz o conceito de >> extensoes de corpos e geralmente precede o capitulo sobre teoria de > Galois). >> >> Em caso negativo, eu gostaria de ver um contra-exemplo. >> >> Agradeco antecipadamente qualquer ajuda. >> >> []s, >> Claudio. >> ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
