on 29.03.04 13:47, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Sun, Mar 28, 2004 at 04:05:17PM -0300, Claudio Buffara wrote: >> Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a partir >> de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio irredutivel >> com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2. >> >> Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja >> raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a >> alguma potencia de 2 eh construtivel? > > N�O. > > Seja p = x^4 + 2*x^2 + 2*x - 2; este polin�mio � irredut�vel > e tem duas ra�zes reais aproximadamente iguais a -1.139037348 > e .5905066741. Pedindo ao maple para resolver a equa��o p(x) = 0 temos: > >> solve(p,x); > bytes used=3000824, alloc=1441528, time=0.35 > / 1/2 \1/2 > 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1 + 36 %2| > 1/6 3 %1 + 1/6 I |-------------------------------| , > | 1/2 1/3 1/2 | > \ (206 + 6 1401 ) %1 / > > / 1/2 \1/2 > 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1 + 36 %2| > 1/6 3 %1 - 1/6 I |-------------------------------| , > | 1/2 1/3 1/2 | > \ (206 + 6 1401 ) %1 / > > / 1/2 \1/2 > 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1 + 36 %2| > - 1/6 3 %1 + 1/6 |--------------------------------| , > | 1/2 1/3 1/2 | > \ (206 + 6 1401 ) %1 / > > / 1/2 \1/2 > 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1 + 36 %2| > - 1/6 3 %1 - 1/6 |--------------------------------| > | 1/2 1/3 1/2 | > \ (206 + 6 1401 ) %1 / > > 1/2 1/3 1/2 2/3 > -4 (206 + 6 1401 ) + (206 + 6 1401 ) - 20 > %1 := --------------------------------------------------- > 1/2 1/3 > (206 + 6 1401 ) > > 1/2 1/2 1/3 > %2 := 3 (206 + 6 1401 ) > > 1/2 1/2 2/3 > %3 := %1 (206 + 6 1401 ) > > 1/2 1/3 1/2 > %4 := (206 + 6 1401 ) %1 > > Observe que isto est� cheio de ra�zes c�bicas. > Eh verdade! E a mensagem do Luis Lopes me lembrou do fato de que uma equacao do 4o. grau pode ser resolvida por meio de uma equacao cubica auxiliar, cuja solucao envolve, em geral, raizes cubicas as quais, em geral, nao sao construtiveis. > O grupo de Galois de p � S4, com 24 elementos. Assim o corpo Q[x1,x2,x3,x4], > onde x1, x2, x3, x4 s�o as ra�zes de p, tem dimens�o 24 como Q-espa�o > vetorial.
Esse tambem eh um exemplo de que o limitante de n! para o grau do corpo de decomposicao de um polinomio irredutivel de grau n sobre o corpo dos coeficientes pode ser atingido. Eu tambem estava atras de um exemplo desses. > A demonstra��o que voc� viu prova que qualquer n�mero construt�vel com r�gua > e compasso pertence a um corpo *normal* cuja dimens�o � uma pot�ncia de 2. > A ausencia da reciproca nos livros que eu consultei deveria ter me dado uma dica de que ela nao eh verdade em geral. Se fosse, eh certo dque constaria como um teorema. > A condi��o se-e-somente-se correta ali�s � esta. > Dado um n�mero alg�brico x, seja K o corpo gerado por Q, x > e todos os conjugados de x. Seja f(n) a dimens�o de K sobre Q. > Ent�o x � construt�vel se e somente f(n) � pot�ncia de 2. > Legal! Vou tentar provar isso. Muito obrigado. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
