On Fri, Feb 27, 2004 at 05:23:46PM -0300, Danilo notes wrote:
> Seja A uma matriz quadrada n x n tal que 3A^3=A^2+ A + I prove que
> (A^k) converge para B tal que B^2=B . k � numero natural.
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou
(x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Observe que estes poss�veis autovalores complexos t�m m�dulo
menor do que 1. Mais do que isso, como este polin�mio s� tem ra�zes
simples a matriz A � necessariamente diagonaliz�vel. Assim
A = M^{-1} D M onde M � uma matriz invers�vel e D � uma matriz
diagonal com entradas todas iguais a 1 ou - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Claramente o limite de D^k quando k tende a infinito � uma matriz
diagonal D' com entradas 1 e 0. Assim o limite de A^k � M^{-1} D' M.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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