Concordo com você, Julio. Os lógicos e o pessoal dos fundamentos não são legisladores e nem juízes da matemática. São apenas cronistas.
Saudações, Daniel. Em terça-feira, 8 de agosto de 2023 às 07:54:10 UTC-3, jmstern escreveu: > > "Todo matemático, em geral, escolhe uma das seguintes alternativas: > > A matemática está inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos; > > A matemática pode ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos; > > A matemática deve ser inteiramente internalizada na Teoria dos > Conjuntos" > > Car(a/o)s: > Permitam-me apresenta uma visao alternativa: > > -- A maioria dos matematicos, simplesmente Nao esta interessada nesta > questao. > Esta questao eh pertinente para -- Fundamentos da Matematica -- , > uma Area Especifica muito interessante, para uma minoria que gosta do > assunto, > mas provavelmente desnecessaria para o trabalho da maioria dos > matematicos. > > Reproduzo a seguir um pequeno trecho do artigo: > > Julio Michael Stern (2020). Prof. Carlos Edgard Harle: Boas Lembranças e > Sábias Lições. Revista Matematica Universitária, 2020, 2, 56-61. > <https://www.ime.usp.br/~jmstern/wp-content/uploads/2020/12/Ste20RMU.pdf> > doi: 10.21711/26755254/rmu202025 > <https://doi.org/10.21711/26755254/rmu202025> > > ------------------------------------ > > 2.3. [Terceira Licao:] > Em engenharia, a construção de uma casa começa pelo trabalho nos > fundamentos. > Em matemática, os fundamentos são feitos no final, para suportar a casa > que já temos! > > Enquanto fazia meu mestrado, tive notícia de uma suposta prova topológica > de inconsistência de ZFC (a teoria de conjuntos de Zermelo–Fraenkel > acrescida pelo Axioma da Escolha), uma ferramenta padrão de fundamentos da > matemática. Lá fui eu, muito preocupado, conversar a respeito com meu > orientador. > O Harle logo me tranquilizou, explicando que, verdadeira ou não, a notícia > pouco impacto teria sobre nosso trabalho em geometria [Lorentziana/ > Riemanniana]. > Para o Harle, o papel da geometria seria o de tratar racional e > sistematicamente uma classe de problemas que se nos apresentam no mundo em > que vivemos; situação semelhante à de outras disciplinas científicas ou > especialidades da matemática. > > Na visão do Harle, o papel da área de fundamentos seria o de prover uma > base comum que atendesse às necessidades de um programa avançado e > abrangente de axiomatização de todas estas disciplinas. > Tal programa seria altamente meritório; todavia, eu deveria ter sempre em > mente a terceira lição, como acima enunciada. > > Muito mais tarde na vida, encontrei uma perspectiva (em minha visão) > semelhante, na citação seguinte atribuída a Kurt Gödel, vide Mehlberg > (1962, p.86), Lakatos(1978, p.27) e Stern (2011, p.645-647). Mais uma vez, > esta lição, que aprendi com o Harle, sobre o papel que cabe em ciências > exatas a seus fundamentos axiomáticos, veio a influenciar > significativamente meu trabalho futuro. > > [...] o papel das assim chamadas ‘fundações’ é comparável à função > exercida, nas teorias físicas, por hipóteses explicativas. [...] A real > função dos axiomas é a de explicar os fenômenos descritos pelos teoremas > deste sistema, e não o de prover uma genuína ‘fundação’ para estes > teoremas. (Kurt Gödel) > > -------------------------------------- > > No artigo seguinte, faco uma analise mais detalhada desta (minha?) visao > "empiricista" da matematica: > > Julio Michael Stern (2011). Constructive Verification, Empirical > Induction, and Falibilist Deduction: A Threefold Contrast. *Information*, > 2, 4, 635-650. > <https://www.ime.usp.br/~jmstern/wp-content/uploads/2020/10/Ste11Axi.pdf> > doi:10.3390/info2040635 <http://doi.org/10.3390/info2040635> > > Como referencia fundamentais (pun intended) para esta posicao, cito: > > Arpad Szabo (1978). The Beginnings of Greek Mathematics; Akademiai Kiado: > Budapest, Hungary. > > Imre Lakatos, J. Worall, E. Zahar, eds. (1976). Proofs and Refutations: > The Logic of Mathematical Discovery; Cambridge University Press: > Cambridge, UK. > > Imre Lakatos (1978). Philosophical Papers. V.1 -- The Methodology of > Scientific Research Programmes. V.2. -- Mathematics, Science, and > Epistemology. Cambridge University Press: Cambridge, UK. > > ------------------------------------------ > > Notem ainda que Logica tem varios papeis relevantes nesta discussao. > > - Um papel, aceito e tradicional, da Logica e teoria dos conjuntos eh > justamente o de construir ferramentas para Fundamentos Axiomaticos da > Matematica, sendo ZFC o paradigma mais conhecido. > > Outros papeis relevantes (na minha opiniao) da Logica seriam os de: > > > Estudar os processos -- Indutivos -- (sim, sim; Indutivos, nao > dedutivos!) que levam a abstracao de estruturas matematicas a partir da > formalizacao de teorias Fisicas (ou em outras ciencias empiricas), e > > > Estudar a melhor forma de construir e oganizar Ontologias da (ou de > partes da) Matematica e a melhor forma para sua insercao nas ou > interacao com as ontologias de ciencias empiricas. > > Tudo de bom, > ---Julio Stern > > > ------------------------------ > *From:* 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L <logi...@dimap.ufrn.br> > *Sent:* Monday, August 7, 2023 5:45 PM > *To:* Daniel Durante <dura...@gmail.com> > *Cc:* LOGICA-L <logi...@dimap.ufrn.br>; marciopalmares < > marciop...@gmail.com>; LOGICA-L <logi...@dimap.ufrn.br>; Petrucio Viana < > petruci...@id.uff.br>; Marcos Silva <marcos...@gmail.com>; Grupo de > pesquisa CLEA <pin...@googlegroups.com>; valeria.depaiva < > valeria...@gmail.com>; Cassiano Terra Rodrigues <cassian...@gmail.com> > *Subject:* [Logica-l] Re: ao > > Caros, > > A mensagem do Cassiano eu preciso digerir mais, hehe, > > Daniel, sua analogia com "geometria é álgebra" é pertinente sim, > > E na verdade me lembrou do prefácio de um excelente livro de graduação de > Teoria dos Conjuntos, o do Enderton: se não me falha a memória, vai na > seguinte linha: > > "Todo matemático, em geral, escolhe uma das seguintes alternativas: > > A matemática está inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos; > > A matemática pode ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos; > > A matemática deve ser inteiramente internalizada na Teoria dos Conjuntos" > > Apesar do que alguém poderia pensar, mesmo com o meu "matemática é ZFC", > eu tendo a pensar mais pela segunda alternativa, talvez nesse espírito de > "ambiente de trabalho". > > (E como pintura do cachimbo, claro...) > > Abraços > > []s Samuel > > PS: Ah sim, isso de "geometria é álgebra" > tem a haver com a internalização da geometria dentro da álgebra, aí da > mesma forma a pessoa pode decidir entre "está", "pode ser", "deve ser"... > > > > > > > > > > > > > > > > > > ----- Mensagem original ----- > De: Daniel Durante <dura...@gmail.com> > Para: LOGICA-L <logi...@dimap.ufrn.br> > Cc: marciopalmares <marciop...@gmail.com>, LOGICA-L <logi...@dimap.ufrn.br>, > samuel <sam...@ufba.br>, Petrucio Viana <petruci...@id.uff.br>, Daniel > Durante <dura...@gmail.com>, Marcos Silva <marcos...@gmail.com>, Grupo de > pesquisa CLEA <pin...@googlegroups.com>, valeria.depaiva < > valeria...@gmail.com>, Cassiano Terra Rodrigues <cassian...@gmail.com> > Enviadas: Mon, 07 Aug 2023 10:41:05 -0300 (BRT) > Assunto: Re: ao > > Oi Marcio e colegas, > > Eu acho, Marcio, que quando Samuel fala que a matemática é ZFC, ele não > está querendo dizer isso literalmente, no sentido de que os números são > certos conjuntos e que as funções são conjuntos de pares com certas > propriedades,... Ele está falando de um jeito menos literal. Os números > são > qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos se comportam em ZFC > e > as funções são qualquer coisa que se comporte como aqueles conjuntos de > pares se comportam em ZFC. > > Porque veja, junto com dizer que a matemática é ZFC ele diz também que ZFC > não tem modelo canônico e que a matemática não são nem as regras do jogo, > nem os diversos tabuleiros onde o jogo é jogado - nem os axiomas de ZFC, > nem seus muitos modelos. > > A matemática não é a formalização de ZFC e também não é cada uma das > possíveis estruturas que verificam os axiomas. A matemática seria aquilo > que todas as estruturas que verificam os axiomas têm em comum. > > Aí, cabe tanto os matemáticos contemporâneos que nem sabem quais são os > axiomas de ZFC, mas que os respeitam, porque vivem em (jogam) versões > desse > jogo, ainda que talvez nem saibam disso. E cabe também, em certo sentido, > os matemáticos do passado que também jogavam versões desse jogo sem saber. > > Talvez, se a gente procurar na história, a gente encontre os momentos em > que as regras do jogo foram se estabelecendo, e o jogo foi sendo > consolidado. Nessa visão dá para entender até o protesto de Valéria, por > exemplo, que nos lembrou que muitos matemáticos se recusam a utilizar o > axioma da escolha e se limitam a jogadas que cabem em ZF, uma versão > simplificada do jogo. > > E protestos desse tipo ajudam também a explicar e acomodar as abordagens > fundacionais alternativas. Qual seria a principal motivação de quem pensa > em fundar a matemática na Teoria das Categorias, ou na Teoria dos Tipos? > Eu > acho que a principal motivação é ajustar o JOGO para alguma divergência > que > não se encaixa perfeitamente em ZFC. > > Acho que um bom exemplo para entender isso é a relação da geometria com a > álgebra. Veja, não sou matemático e se eu tiver falando bobagem, vocês > simplesmente desconsiderem. Mas vejo a afirmação de que a matemática é ZFC > de um modo paralelo à afirmação de que a geometria é álgebra. > > Em um certo sentido, isso está correto. Que eu saiba, não há nada na > geometria que não caiba na álgebra, no sentido de que não há nenhum > resultado geométrico que não tenha contrapartida algébrica. Então, em um > sentido matemático, de resultados, geometria é álgebra. Mas é claro que > Euclides, ou os geômetras de régua e compasso não são algebristas e não > estavam fazendo álgebra. É claro que conseguimos entender certas > estruturas, relações e conceitos muito melhor e mais claramente na > geometria que na álgebra, que todos temos intuições geométricas, mas que > só > alguns poucos de nós, matematicamente treinados, têm as intuições > algébricas equivalentes. > > Então, em um outro sentido muito forte, geometria não é álgebra. Mas esse > outro sentido muito forte, não é o sentido matemático. Em um sentido > matemático, de resultados matemáticos, geometria é álgebra. > > Então, pensando nesses termos, eu concordo com a tese de Samuel de que a > matemática é ZFC. Mas isso não me impede de concordar se o Eduardo Ochs ou > alguém da teoria das categorias me disser que a matemática é Teoria das > Categorias ou outra teoria qualquer, desde que as eventuais divergências > extensionais entre a teoria nova e ZFC sejam convincentemente justificadas. > > Não sei se o Samuel, que é o "pai da criança", enxerga sua própria > abordagem desse jeito. Mas é assim que eu vejo. E nesses termos, eu > concordo com ela. > > Saudações, > Daniel. > > -- > LOGICA-L > Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de > Lógica <logi...@dimap.ufrn.br> > --- > Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" > dos Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie > um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br. > Para ver esta discussão na web, acesse > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/205930130.98344.1691430310106.JavaMail.zimbra%40ufba.br > . > -- LOGICA-L Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logica-l@dimap.ufrn.br> --- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. 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