J.M. Eu acho que agora captei o ponto.
1) Com relação à questão didática de que os >> sistemas hilbertianos/axiomáticos costuma >> dificultar justamente a compreensão da diferença entre axiomas e >> regras Eu tenho sérias dúvidas. Classicamente era dito que a partir de princípios como A=A poderia ser feito um sistema lógico. Em particular, existem vários raciocínios informais (Fichte, por exemplo) que tentam a partir de A=A obter os outros princípios (não-contradição e terceiro excluído). Intérpretes de Aristóteles afirmam que a partir do princípio de não contradição podem ser obtidos os outros (p. ex. autores da neoescolástica, eu acho). A definição clássica de silogismo nos primeiros analíticos foi discutida por Łukasiewicz e Gunter Patzig sobre se λόγος [lógos] devia ser interpretado no sentido de enunciado ou de regra. Os axiomas originários da geometria de Euclides não são proposições, mas construções: "traçar uma reta de A para B". Ou seja, uma coisa muito mais semelhante a uma regra que a um axioma. Em resumo, eu acho que somente no século XX (ou final do XIX?) foi colocada com exatidão a diferença entre princípio e regra. Se por " fixação 'filosófica'/'algébrica' " vc entende ficar raciocinando como em 1820, então eu estou de acordo. De aí uma perspectiva muito demodé de entender a lógica como um conjunto de teoremas. A partir da existência de computadores, essa maneira de pensar é inadmissível. Mas acho que tem de tirar Hilbert da parada, pois ele mesmo ressaltou a diferença, por exemplo, com o modus ponens. Por outra parte, do ponto de vista didático (não formal), pode ser admitido que em sistemas como a dedução natural ou os sistemas de sequentes fica mais clara a noção de regra. 2) Com relação á confusão global-local, eu acho que tem muito a ver com a prática usual em matemáticos de usar intuitivamente o metateorema da dedução, na forma de "fixar um x", etc. Esse uso intuitiva faz pensar que o metateorema da dedução vale universalmente em qualquer sistema, que, como vc diz, é falso. Existe o velho preconceito de que matemáticos práticos (working matematicians) não erram, ou quase não erram. Erramos muito e as vezes erramos feio. Grandes matemáticos erram em partes chaves que invalidam toda a prova, como o erro do Teorema de Fermat, depois corrigido por Wiles. Lógicos também erramos. Eu me lembro um seminário em Argentina, no qual um doctorando enunciou um teorema e Cignoli pulou da cadeira falando "isso não é assim". Os working matematicians se viram, corrigem erros, seguem para a frente, mas isso não significam que não precisem fazer a diferença entre axiomas e regras. O que acontece que de tempo em tempo alguém explica o que tem de errado. Isso de que algum matemático com resultados importantes quera aparecer publicamente como infalível não passa de marketing. Se alguém pode morar no palácio de cristal da lógica clássica e por isso confundir regras locais com globais supondo que o metateorema da dedução vale universalmente, tem outros que não têm tão digna moradia, por exemplo, se quiser usar lógicas modais em computação. Então a confusão teórica ganha o elegante status de "bug". 3) Russell conta que ficou impressionado no congresso de 1900 pela maneira que Peano y os matemáticos da sua equipe faziam as demonstrações. Eu pessoalmente penso que o desenvolvimento formal da aritmética do final do XIX e inícios do XX aconteceu pela clarificação dos métodos lógicos de demonstração. Penso que usar o princípio de indução em 1750 levaria facilmente ao caos, por mas que raciocínios do tipo "indutiva" possam ser encontrados, por exemplo, em Arquimedes. Eu acho que o desenvolvimento teórico da lógica e o avanço dos métodos matemáticos de prova é em certa medida análogo a o que acontece muitas vezes com ciência e tecnologia. Uma vez que um cientista coloca a base e calcula um circuíto eletrônico, o técnico só precisa soldar componentes. Eu não quero citar por enésima vez a Curry falando que a regra de substituição estava errada em muitos sistemas anteriores a 1940. O lógico falou para o matemático: "o que está fazendo rapaz, não pode fazer isso, está errado". Então o matemático, "intuitivamente" (???) demonstrou de maneiras corretas. Um artigo como: http://en.wikipedia.org/wiki/Admissible_rule na wiki português seria interessante para esclarecer estes tópicos, se é que não tem com um outro nome. Abraços Carlos 2013/1/4 Joao Marcos <[email protected]>: >> Eu não entendo o que vc quer dizer com: >> >>> Pior, a fixação >>> 'filosófica'/'algébrica' em sistemas hilbertianos/axiomáticos costuma >>> dificultar justamente a compreensão da diferença entre axiomas e >>> regras, e da diferença entre teoremas e a noção mais geral de >>> consequência. >> >> Em particular, se o sistema formal está corretamente construído, >> porque vai dificultar qualquer compreensão? >> >> O que é essa "fixação" da que vc está falando. > > Um bom exemplo de "compreensão imperfeita" é justamente o da diferença > entre as versões _local_ e _global_ de modus ponens: ambas valem na > lógica clássica, ambas valem nas lógicas modais usuais. O mesmo já > não acontece com uma regra puramente _global_ como a da necessitação, > que não aceita _fórmulas arbitrárias_ como premissas, mas apenas > _teoremas_. (Algumas vezes a versão global de modus ponens, aquela > que envolve exclusivamente teoremas, é chamada na literatura > filosófica de "rule of detachment". Em qualquer lógica que não seja > _estruturalmente completa_ valerá a pena fazer a diferença em > princípio entre as duas versões.) > > O que eu quis sugerir foi que a mania demodé de pensar em _lógica_ > como um "conjunto de teoremas" dificulta a compreensão da diferença > entre as duas perspectivas acima. Não surpreende que quem trabalhe > com axiomas (o "matemático clássico"?) e não precise na prática fazer > a diferença entre axiomas e regras acabe tendo dificuldade em > compreender esta mesma diferença. (Na época de Russell, quando ainda > não estava clara a noção de consequência lógica ou mesmo a diferença > entre semântica e formalismo dedutivo, nenhuma destas "sutilezas" > faria qualquer diferença.) > > Abraços, > Joao Marcos > > -- > http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
