PS: abaixo no consequente do exemplo era somente uma negação, não duas. Em 4 de janeiro de 2013 08:16, Tony Marmo <[email protected]> escreveu:
> Eu coloquei A&¬A, mas você pode pensar qualquer outra fórmula como > antecedente na implicação de Ban. Por exemplo, > (A implica ¬A) implica Necessário (A implica não ¬A). Você pode colocar > uma variável atômica como antecedente em Ban, ou seja, > p implica Necessário p. Mas, ai você não prova Necessário p, salvo se > tiver p e p implica Necessário p. > > Em 3 de janeiro de 2013 22:42, Luis Rosa <[email protected]> escreveu: > > Ok, confundi a regra de necessitação com o axioma de Ban - agora vejo >> isso. A noção de necessidade não é banalizada pela regra da necessitação >> nos sistemas (K - S4). >> >> Fiquei um pouco assustado, porém, com a observação de que, pelo axioma >> Ban, (A & ¬A) implica *L*(A & ¬A). Se o axioma Ban faz parte de qualquer >> sistema, não é o caso que em tal sistema (A & ¬A) também implique ¬*L*(A >> & ¬A)? >> >> >> 2013/1/3 Tony Marmo <[email protected]> >> >>> Entendo a sua dúvida. Você quer saber a diferença entre necessitação e >>> banalização. A ideia de necessitação é uma resposta à questão: que verdades >>> são necessárias? A necessitação diz que em primeiro lugar as verdades da >>> lógica clássica são necessárias. Isto não banaliza a noção de necessidade. >>> >>> A regra de necessitação para os sistemas de Lewis até S4 diz que se A é >>> uma tese da lógica proposicional clássica, então A é uma verdade >>> necessária. Isto é diferente do axioma Ban, que diz A implica Necessário A. >>> Por exemplo, A ou ¬A é uma tese clássica: logo, Necessário(A ou ¬A). >>> >>> Veja agora o caso seguinte: uma contradição não é uma tese da lógica >>> proposicional clássica. PC não deriva A&¬A. Donde, *jamais* a regra de >>> necessitação produzirá Necessário (A&¬A). Mas, pelo axioma Ban, (A&¬A) >>> implicam Necessário (A&¬A). >>> >>> Em 3 de janeiro de 2013 17:31, Luis Rosa <[email protected]> escreveu: >>> >>>> Estou com uma dúvida sobre a relação entre os sistemas modais K e T, >>>> conforme construídos por Hughes e Cresswell em *A New Introduction to >>>> Modal >>>> Logic*. Desconfio que a origem da dúvida seja um mal entendimento que >>>> tenho >>>> sobre a relação entre as regras de derivação e os teoremas de tais >>>> sistemas >>>> (ou sobre a relação entre regras de derivação e teoremas em geral!). >>>> >>>> Explico (onde *'L'* é o operador modal de necessidade, 'É' representa o >>>> condicional material, '→' representa derivação lógica, 'W' representa um >>>> conjunto de mundos possíveis, e 'R' representa relações entre mundos): >>>> >>>> *Sobre o sistema K*. >>>> H&C constróem o sistema K como tendo os dois seguintes axiomas: >>>> >>>> *PC* If *α* is a valid wff of propositional calculus, then *α* is an >>>> axiom. >>>> *K* *L*(*p* É *q*) É (*L**p* É *L**q*), >>>> >>>> e como tendo as seguintes regras básicas de derivação: a regra da >>>> substituição uniforme de sub-fórmulas dentro de uma fórmula, o modus >>>> ponens, e a regra da necessitação: >>>> >>>> *N* *⊢* *α* → *⊢* *L**α* >>>> >>>> *Sobre o sistema T*. >>>> H&C constróem o sistema T como sendo o sistema que resulta da adição do >>>> seguinte teorema ao sistema K: >>>> >>>> *T* *Lp *É* p*, >>>> >>>> de tal modo que T = K + *T*. >>>> >>>> O axioma *T* é válido em todos os frames <W,R> em que R é uma relação >>>> reflexiva (de tal modo que, para todo *w **∈ *W, *w*R*w*). >>>> Informalmente, >>>> diz-se então que T é um sistema em que todos os mundos enxergam a si >>>> mesmos. >>>> >>>> Agora vem a minha dúvida colocada de modo preciso: H&C observam que >>>> >>>> *p *É *Lp* >>>> * >>>> * >>>> não é um teorema de T, uma vez que é possível construir um frame >>>> reflexivo >>>> em que *p *É *Lp *não é válido em T (em tal frame haveria um mundo em >>>> que *p >>>> * é verdadeiro e que pode enxergar outro mundo em que *p* é falso, onde >>>> cada mundo enxerga a si mesmo). Porém, dado *N* e a regra de derivação >>>> que >>>> chamamos de 'prova condicional', *p *É *Lp *é um teorema de K (ou estou >>>> enganado? what am I missing?). >>>> >>>> Assim, dado que, de modo geral, se S é um sistema modal contendo as >>>> regras >>>> de substituição uniforme, modus ponens e *N*, e se P é um conjunto de >>>> axiomas, dado que S + P denota o sistema obtido a partir da inclusão de >>>> todas as fórmulas em P ao sistema S, então é verdade que todos os >>>> teoremas >>>> de S são também teoremas de S + P. Assim, se T = K + *T*, todos os >>>> teoremas >>>> de K devem ser teoremas de T. Mas *p *É *Lp* é um teorema de K, e os >>>> autores dizem que esse não é um teorema de T. (Acredito que, para o >>>> sistema >>>> T ser como os autores descrevem, em que *p *É *Lp* não é válido, ele não >>>> deveria admitir a regra *N*). >>>> >>>> Alguém pode me ajudar? (peço desculpas pelo tamanho do email - sem >>>> problema >>>> se tiverem preguiça de ler =]) >>>> Obrigado, e abraço a todos! >>>> >>>> >>>> -- >>>> *Luis Rosa * >>>> @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes >>>> <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> >>>> FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> >>>> Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> >>>> Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> >>>> _______________________________________________ >>>> Logica-l mailing list >>>> [email protected] >>>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l >>>> >>> >>> >> >> >> -- >> *Luis Rosa * >> @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes >> <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> >> FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> >> Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> >> Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> >> >> > _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
