Olá João e Daniel Alguns breves comentários que talvez ajudem a esclarecer.
Sobre a distinção entre "demonstrabilidade" e "verdade". Minhas considerações serão restritas a enunciados matemáticos. -Entendo que na matemática há dois usos da palavra "verdade" que devem ser distinguidos. 1) Primeiro, é comum, em matemática, dizer de alguns enunciados P que "é verdade que P". Exemplo: "é verdade que todo conjunto de números reais limitado superiormente possui um supremo." 2) Segundo, podemos dizer de uma sentença A que formaliza um enunciado P em uma linguagem formal L e de uma estrutura E para L que "A é verdade em E". Sobre 1): "é verdade que P" não é um enunciado matemático, é a afirmação de P. Esse primeiro uso da palavra "verdade" não desempenha um papel matemático porque "é verdade que P" não é uma sentença da matemática. Afirmar "é verdade que P" é o mesmo que simplesmente afirmar P. Sobre 2): "A é verdade em E" é um enunciado matemático, e um enunciado diferente de P. Por exemplo, para L uma linguagem de primeira ordem e E uma estrutura de primeira ordem, "A é verdade em E" expressa a definição de Tarski, uma definição matemática, por indução no comprimento de A, por exemplo. Mais especificamente, "A é verdade em E" é uma sentença da teoria de conjuntos diferente de A. -Também entendo o uso de "demonstrável" em dois sentidos: 1) "P é demonstrável" pode ser entendido no sentido que P é demonstrado a partir de alguns princípios que poderão ser aceitos como axiomas. 2) "P é demonstrável" pode ser usado também para expressar que uma sentença A que formaliza o enunciado P no sistema formal F é teorema de F. Para um enunciado matemático P, entendo que há apenas um modo de justificar a afirmação "é verdade que P" (no primeiro sentido): apresentando uma demonstração de P a partir de princípios aceitos como axiomas. Ou seja, a única garantia para a verdade de um enunciado matemático P é a demonstração de P a partir de axiomas. Isso não quer dizer que se P é independente então P não é nem verdadeiro nem falso. Se P é independente então não há garantia para a verdade de P segundo os axiomas atualmente aceitos, mas isso não quer dizer que é impossível dar qualquer garantia para a verdade de P. P pode ser demonstrável no sentido 1). Tampouco há aqui qualquer tese sobre a subjetividade ou objetividade da verdade de P. Falando de enunciados matemáticos e de sistemas para a matemática, então é mesmo uma consequência dos teoremas da incompletude que verdade e demonstrabilidade não são coextensivas: -Se os axiomas de um sistema para a matemática são inconsistentes então demonstrabilidade é trivial. Senão, a consistência do sistema não é demonstrável e é verdadeira por hipótese. Portanto mesmo permitindo o sentido 1) para "P é demonstrável", que é mais generoso, demonstrabilidade e verdade não são coextensivas. Mesmo acrescentando novos axiomas, a consistência do novo sistema sempre fornecerá a sentença verdadeira e indemonstrável, a menos que o novo sistema seja inconsistente. Os teoremas de correção e completude é a equivalência, no contexto lógica de primeira ordem, entre A é teorema de F e A é *válida em todo modelo de F*. Não vejo aqui uma correspondência entre demonstrabilidade e verdade. Concluindo: nenhum dos dois usos da palavra "verdade" que expliquei acima podem ser identificados a qualquer um dos sentidos de demonstrável. O primeiro uso de "verdade" está relacionado com "demonstrável" no sentido estamos justificados em afirmar P apenas se temos uma demonstração de P, mas isso não identifica "é verdade que P" com nenhum dos dois sentidos de "P é demonstrável". O segundo uso de "verdade" também está relacionado com "demonstrável" no sentido 2) pelos teoremas de correção e completude. No entanto, esses teoremas enunciam a equivalência entre demonstrável e válido, não entre demonstrável e verdadeiro. Portanto, também não vejo aqui uma identificação. Abraço Rodrigo _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
