Outra coisa: uma maneira de se definir a forma interseção numa 4-variedade é descrever certa classe de campos eletromagnéticos (os campos-teste) no espaçotempo (a 4-variedade). Ou seja, a intuição física ajuda no raciocínio matemático.
(Detalhe técnico: os campos eletromagnéticos teste determinam o segundo grupo de cohomologia de de Rham da 4-variedade.) Meu ponto: aqui acaba o argumento de que ``matemática é tautologia,'' ou é ``auxiliar metodológico.'' Pois o que nos guia na prova é a intuição física. (O mesmo acontece com as chamadas variáveis de ângulo ação, que aparecem nas condições de quantização de Bohr - e é o que determina o chamado efeito Aharonov-Bohm, em mecânica quântica. Tudo ligado ao que nos permite construir a forma interseção. 2010/2/1 Francisco Antonio Doria <[email protected]> > Vocês me desculpem, mas matemática ***é*** difícil. Passei ontem o dia > quebrando a cara, tentando entender como se obtem um R4 (plano real, a 4 > dimensões) exótico, isto é, com uma estrutura diferenciável não difeomorfa > (= equivalente, em transformações diferenciáveis) ao plano R4 usual. > > Por que isso é importante para a física? Porque velocidades e acelerações > são derivadas, e se calculam com as funções diferenciáveis, e suas relações, > no R4. Se tais estruturas são não equivalentes, a física - cinemática, > dinâmica, para começar - é outra. As implicações para a física em si - e > para um estudo dos fundamentos da física - são enormes. > > Vou resumir o que entendi. > > Parte-se de uma certa variedade lisa (com estrutura diferenciável C > infinita) e fechada. Logo, compacta. Tais variedades são caracterizadas por > sua ``forma interseção,'' uma forma bilinear que lhes descreve a geometria > como uma ``soma conexa'' - pega duas variedades e cola ambas juntas, depois > de retirar numa e noutra um disco adequado. Basicamente, é isso. > > A soma dos termos na forma interseção descreve então a soma conexa de > pedaços na variedade que escolhemos. Podemos tirar um pedaço da soma conexa > e ainda assim termos uma variedade diferenciável? (Porque há variedades > topológicas a 4 dimensões que não admitem estruturas diferenciáveis.) > Tenta-se de um modo específico: um argumento é desenvolvido, que leva a uma > contradição, no qual se mostram duas coisas: (a) o pedaço remanescente é, > topologicamente, o R4. E (b) não pode ser difeomorfo ao R4. > > O pons asinorum da prova são dois teoremas cabeludíssimos, o teorema de > Rokhlin e o teorema de Donaldson (este lhe deu a Medalha Fields), com os > quais lemos na forma interseção, se as variedades associadas são > diferenciáveis ou não. > > Não é fácil. Quebrei ontem a cara com isso, e continuo quebrando a cara > hoje. > > >
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