Vocês me desculpem, mas matemática ***é*** difícil. Passei ontem o dia quebrando a cara, tentando entender como se obtem um R4 (plano real, a 4 dimensões) exótico, isto é, com uma estrutura diferenciável não difeomorfa (= equivalente, em transformações diferenciáveis) ao plano R4 usual.
Por que isso é importante para a física? Porque velocidades e acelerações são derivadas, e se calculam com as funções diferenciáveis, e suas relações, no R4. Se tais estruturas são não equivalentes, a física - cinemática, dinâmica, para começar - é outra. As implicações para a física em si - e para um estudo dos fundamentos da física - são enormes. Vou resumir o que entendi. Parte-se de uma certa variedade lisa (com estrutura diferenciável C infinita) e fechada. Logo, compacta. Tais variedades são caracterizadas por sua ``forma interseção,'' uma forma bilinear que lhes descreve a geometria como uma ``soma conexa'' - pega duas variedades e cola ambas juntas, depois de retirar numa e noutra um disco adequado. Basicamente, é isso. A soma dos termos na forma interseção descreve então a soma conexa de pedaços na variedade que escolhemos. Podemos tirar um pedaço da soma conexa e ainda assim termos uma variedade diferenciável? (Porque há variedades topológicas a 4 dimensões que não admitem estruturas diferenciáveis.) Tenta-se de um modo específico: um argumento é desenvolvido, que leva a uma contradição, no qual se mostram duas coisas: (a) o pedaço remanescente é, topologicamente, o R4. E (b) não pode ser difeomorfo ao R4. O pons asinorum da prova são dois teoremas cabeludíssimos, o teorema de Rokhlin e o teorema de Donaldson (este lhe deu a Medalha Fields), com os quais lemos na forma interseção, se as variedades associadas são diferenciáveis ou não. Não é fácil. Quebrei ontem a cara com isso, e continuo quebrando a cara hoje.
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