Ola Franscisco, O verao nao esta quente o suficiente ? Em vez de ventilador questoes exoticas ? Voce esta mexendo com os R4 exoticos GRANDES. Existem dois teoremas fundamentais para chegarmos a este teoremas
(1) *Teorema do Freedman (1980-81)*: Toda forma bilinear $Q:ZxZ -> Z$, (Z=inteiros) simetrica, unimodular (det(Q)=1), pode ser realizada como a forma de intersecao de uma 4-variedade topologica, fechada, simplesmente conexa. o teorema classico do Whitehead-Wall afirma que duas 4-variedades fechadas, simplesmente conexas e com mesma forma de intersecao sao h-cobordantes, consequetemente homotopicas. Naquela epoca, havia a seguinte questao: a 4-variedade K3 tem forma de interseca Q=-2E(8)+3H, onde E(*) e a forma dassociado as raies do grupo de Lie excepcional e He a forma de intersecao de S^2 x S^2. O K3 pode ser escrito como soma conexa de duas 4-variedades ? (uma delas seria a copia de 3 somas conexas S^2 x S^2. Decorre do Teorema do Freedman que SIM, pode porque existe uma 4-variedade com forma -2 E(8). O Teorema do Rohlin afirma que SE a forma de intersecao de uma 4-variedade diferenciavel, fechada é spin (Q(a,a) é par p/qualquer a), entao o INDICE de Q e multiplo de 16 !!! Junto com o teorma do Freedman chegamos a seguinte conslusao: a variedade representando a forma Q=E(8) nao pode ser diferenciavel, pois e spin e o indice dela e 8. ENTAO existem espacos que nao sao diferenciaveis !!!!!!! Mas -2E(8) tem indice 16. Entao ele pode ser a forma de intersecao de uma 4-variedade diferenciavel ? (certamente, nao contradiziria o teorema do Rohlin) Ai surgiu o teorma do Donaldson *Donaldosn (1981):* Seja Q a forma de intersecao de uma 4-variedade, fechada, diferenciavel e simplesmente conexa. Se Q for negativa definida (Q(a,a)<0, para todo a), entao Q e equivalente sobre os inteiros a matriz identidade. (o teorma pode ser enunciado para positiva definida) Acontece que -2E(8) e negativa definida e CERTAMENTE nao e equivalente sobre os interios a matriz identidade. juntando os cacos: (i) existe uma variedade topologica X com forma de intersecao -2E(8) (Freedman) (ii) esta variedade nao pode ser diferenciavel (Donaldson), (iii) K3 e a soma conexa de X com 3 copias da soma conexa de S^2 x S^2 ---> K3 = X#3(S^2 x S^2). Para realizarmos a soma conexa K3 = X#3(S^2 x S^2), e preciso retirar um disco D^4 de 3(S^2 x S^2) e outro de X, se este disco fosse o disco standard, difeormorfo ao R^4 standard, nao teria porque X nao ser diferenciavel, mas Não é ! Entao este disco nao pode ser o standard .....ADIVINHA ! trata-se de um eles, o mais antigo ! O R^4 exotico. Mas observem o seguinte, a soma conexa e realizada ao longo do bordo S^3, o qual nao pode ser um S^3 de boa cepa, senao bastaria colar um disco D^4 standard ao longo dele para obter uma estrutura diferenciavel sobre X. Portanto, este S^3 que vive tambem em 3(S^2 x S^2) tem que bordar um disco exotico em 3(S^2 x S^2). Moral da historia: o R^4 exotico vive dentro da 4-variedade diferenciavel 3(S^2 x S^2). E possivel mostrar que el mora em CP^2, exercicio ! Ate hoje, pouco se sabe sobre esta classe de R^4 exoticos. Agora liguem o ventilador ! Abraços, Celso 2010/2/1 Francisco Antonio Doria <[email protected]> > Vocês me desculpem, mas matemática ***é*** difícil. Passei ontem o dia > quebrando a cara, tentando entender como se obtem um R4 (plano real, a 4 > dimensões) exótico, isto é, com uma estrutura diferenciável não difeomorfa > (= equivalente, em transformações diferenciáveis) ao plano R4 usual. > > Por que isso é importante para a física? Porque velocidades e acelerações > são derivadas, e se calculam com as funções diferenciáveis, e suas relações, > no R4. Se tais estruturas são não equivalentes, a física - cinemática, > dinâmica, para começar - é outra. As implicações para a física em si - e > para um estudo dos fundamentos da física - são enormes. > > Vou resumir o que entendi. > > Parte-se de uma certa variedade lisa (com estrutura diferenciável C > infinita) e fechada. Logo, compacta. Tais variedades são caracterizadas por > sua ``forma interseção,'' uma forma bilinear que lhes descreve a geometria > como uma ``soma conexa'' - pega duas variedades e cola ambas juntas, depois > de retirar numa e noutra um disco adequado. Basicamente, é isso. > > A soma dos termos na forma interseção descreve então a soma conexa de > pedaços na variedade que escolhemos. Podemos tirar um pedaço da soma conexa > e ainda assim termos uma variedade diferenciável? (Porque há variedades > topológicas a 4 dimensões que não admitem estruturas diferenciáveis.) > Tenta-se de um modo específico: um argumento é desenvolvido, que leva a uma > contradição, no qual se mostram duas coisas: (a) o pedaço remanescente é, > topologicamente, o R4. E (b) não pode ser difeomorfo ao R4. > > O pons asinorum da prova são dois teoremas cabeludíssimos, o teorema de > Rokhlin e o teorema de Donaldson (este lhe deu a Medalha Fields), com os > quais lemos na forma interseção, se as variedades associadas são > diferenciáveis ou não. > > Não é fácil. Quebrei ontem a cara com isso, e continuo quebrando a cara > hoje. > > > -- Dr. Celso Melchiades Doria UFSC, Depto de Matematica Campus Universitario, Trindade 88040-900, Florianopolis-SC Brasil tel: +55 - 48 - 3721 6560, ext: 4311
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