Já comentei que há provas triviais, embora não-finitistas, para a consistência da aritmética (PA). Um motivo pelo qual a aritmética é consistente: há muito pouca chance de se encontrar uma contradição, pois, numa medida razoável, o conjunto das sentenças demonstráveis tem medida zero. Este é um resultado de Cris Calude; conheço dele uma prova usando-se o número Omega de Chaitin.
2009/8/12 Ricardo Pereira Tassinari <[email protected]> > Olá Bruno. > > 2009/8/12 Bruno Woltzenlogel Paleo <[email protected]> > >> Olá Ricardo, >> >> --------------------------------------- >> Bem, por outro lado, que são essas coisas sintáticas chamadas fórmulas? >> >> Há infinitas delas (!) >> e elas nem são exatamente objetos físicos, pois são tipos (type) e não >> ocorrências (token)! >> >> Se você "acredita" em na existência das fórmulas, então não é difícil >> acreditar na existência do Modelo Padrão. >> ------------------------------ >> >> Há infinitas formulas, mas elas sao recursivamente enumeraveis... Já as >> infinitas verdades do modelo padrao nao sao recursivamente enumeraveis. >> >> Eu nao quis dizer que nao acredito na existencia do modelo padrao. Meu >> ponto >> foi simplesmente de que a versao "sintatica" da incompletabilidade é mais >> clara pra mim do que a "semantica". Fiz esse comentario porque voce havia >> comentado que pra voce ocorre justamente o contrario. No fim, acho que >> acaba sendo uma questao de gosto ou costume... :-) > > > Estamos de acordo que o entendimento da incompletude sintática é mais > direto. Lembro-me de uma sentença do Shoenfield que diz que "os conceitos da > matemática são usualmente muito abstratos e portanto difíceis de > compreender. Uma sentença, por outro lado, é um objeto concreto; então pelo > estudo dos axiomas como sentenças, nos abordamos o abstrato com o concreto". > Tinha percebido que você estava expressando essa característica. Mas, como > não me ficou claro a questão sobre a existência dos objetos matemáticos, > revolvi expor um argumento que acho interessante e que mostra, por um lado, > o quanto vai se caminhando do concreto para o abstrato de uma forma quase > contínua, tendo cada pesquisador de escolher onde parar, se não quer ser um > "platonista total" e, por outro lado, que a crença em um concreto > independente do abstrato é algo, no mínino, pouco refletido. > > Não penso que a verdade aritmética (por exemplo, expressa em uma linguagem > de primeira ordem) seja mais imediata que a demonstração em um sistema > formal, ao contrário; mas também não acho que ela seja algo que não sabemos > o que é, como algumas vezes alguns colocam. Por exemplo, Smullyan afirma que > algumas pessoas dizem “Pelo segundo teorema de Gödel, nunca poderemos saber > se a aritmética é, ou não, consistente”, em função do qual ele se expressa: > "Bobagem!". São confusões desse tipo que tentei esclarecer também. Não > pensei que fosse essa a sua posição, mas achei que valia pena apresentar o > argumento aqui na lista. > >> >> ------------------------------------ >> Há essa também é boa para definir um tipo de platonismo: defina a >> Aritmética >> como sendo o conjunto das fórmulas que são verdadeiras no modelo >> apresentado >> acima. Nesse caso, a Aritmética não é (recursivamente) axiomatizável. E >> ela >> são as verdades eternas... >> ---------------------- >> >> É, isso é o que eu conheco como "true arithmetic". Já que estavamos >> falando >> sobre traducoes para o portugues, alguem sabe qual é a melhor ou mais >> usada >> traducao pra "true arithmetic"?? >> >> ------------------------ >> Tem mais sobre essa discussão em minha tese: >> >> http://www.marilia.unesp.br/Home/Instituicao/Docentes/RicardoTassinari/Bibli >> otecaOnline/Tese%20Tassinari.pdf<http://www.marilia.unesp.br/Home/Instituicao/Docentes/RicardoTassinari/Bibli%0AotecaOnline/Tese%20Tassinari.pdf> >> . >> ------------------------- >> >> Obrigado pela tese! Já fiz o download, mas vou ler só depois de alguns >> meses, quando eu terminar de escrever a minha... :-) >> >> Até! >> >> Bruno >> >> > Um grande abraço e obrigado pela discussão. > Ricardo. > >> >> -------------------------------- >> Bruno Woltzenlogel Paleo >> Website: http://www.logic.at/people/bruno/ >> >> > > > -- > Dr. Ricardo Pereira Tassinari - Departamento de Filosofia > UNESP - Faculdade de Filosofia e Ciências - Marília > Homepage: http://www.marilia.unesp.br/ricardotassinari > > > _______________________________________________ > Logica-l mailing list > [email protected] > http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l > >
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