> Consistência e Omega-consistência: não dá para não ser técnico, mas vou
> tentar manter a técnica ao mínimo.
Boa, Marcelo!
> Um conjunto de sentenças é consistente quando qualquer subconjunto *finito*
> de fórmulas deste conjunto NÃO implica logicamente na negação de outra
> sentença do conjunto. Por exemplo, o conjunto {A, A --> B, não-B} é
> inconsistence, mas qualquer subconjunto dele é consistente.
A definição tá obviamente correta, mas o exemplo não parece ter sido
particularmente bem escolhido, já que o conjunto original é finito e
não consistente... (e você considera apenas seus subconjuntos
*próprios*)
> Um conjunto é Omega-consistente quando nenhum subconjunto (mesmo os
> infinitos) implicam logicamente na negação de outro. Vou dar um exemplo da
> aritmética. Suponha, como na aritmética de peano em sua apresentação usual,
> que temos um símbolo constante 0 e um símbolo funcional de sucessor, ', de
> modo que podemos nos referir a todos os naturuais: 1= 0', 2 = 0'', 3 = 0''',
> etc. Considere qualquer predicado unário P(x) [por exemplo, querendo dizer
> que o número x "é bonito"]. Então considere a teoria:
> - Existe x(não P(x)) [existe um número que não é bonito]
> -P(0), P(0'), P(0''), P(0'''), etc.
>
> A teoria afirma que existe um número não bonito, e afirma tb que
> individualmente cada número é bonito. Qualquer subconjunto finito desta
> teoria é consistente, mas a teoria toda é omega-inconsistente quando os
> símbolos são interpretados sobre os Naturais.
Há uma versão engraçado de omega-inconsistência citada pelo Smullyan
que é feita em termos da "mãe judia", e que tem mais ou menos o
seguinte formato, consistindo de um conjunto de regras estipuladas
para o filho sobre as ações A(n):
- Você não pode fazer A(0).
- Você não pode fazer A(1).
- Você não pode fazer A(2).
...
- Há algo que você pode fazer!
...
- Você não pode fazer A(m-1).
- Você não pode fazer A(m).
- Você não pode fazer A(m+1).
...
- Há algo que você pode fazer!
...
e por aí segue
...
JM
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