Caro Rodrigo. Os problemas começam quando se toma o Teorema de Goedel como sendo o que ele não é. Segundo o seu texto:
"Gödel pôde demonstrar que nesse sistema ou algum outro equivalente é possível construir uma frase, G, que (1) é demonstrável a partir das premissas e axiomas do sistema, mas que (2) afirma de si mesma que é indemonstrável. " Lamento, mas o que o Teorema diz é que, se uma teoria T for uma extensão da Aritmética de Peano, então existe uma fórmula A: a) SE A TEORIA T FOR CONSISTENTE, A não é demonstrável em T; e b) SE A TEORIA T FOR omega-CONSISTENTE, a negação de A não é demonstrável em T. Essas pré-condições de consistência são absolutamente fundamentais tanto para a demonstração quanto para a compreensão do teorema. (Rosser depois mostrou que a omega-consistência pode ser reduzida a apenas consistência usando uma outra fórmula). A sua análise, e muitas outras, omitem este facto. Aliás, o teorema é chamado de "incompletude", pois uma teoria é incompleta se existe uma fórmula tal que nem ela nem sua negação podem ser demonstradas. O Teorema de Gödel diz q a aritmética de Peano é incompleta e não pode ser completada. Em nenhum lugar está dito que a fórmula A responsável pela incompletude é "demonstrável a partir das premissas e axiomas do sistema". Aliás, se ela assim fosse, ou o teorema ou a aritmética seriam inconsistentes. Por sinal, a auto referência da fórmula A não é direta, mas se dá através de um sistema de codificação de fórmulas e provas em elementos da aritmética (de peano). Esta codificação não é única, diversas codificações distintas servem de base para o teorema. Espero ter ajudado. []s Marcelo 2009/8/3 Rodrigo Oliveira <[email protected]> > > Olá a todos, > > Estou lendo o livro Pragmática da Comunicação Humana, do Paul Watzlawick. > No fim do livro ele faz uma relação entre o teorema de Gödel e o que ele > chama de o paradoxo fundamental da existência humana, sendo o Tractatus de > Wittgenstein uma maneira de expressar esse paradoxo. Reproduzo aqui o texto, > que é um pouquinho longo para um e-mail. Gostaria de ouvir comentários obre > ele, dado que qui se encontram especialistas nos temas abordados. Penso em > coisas como: o modo como ele apresenta o teorema é adequado? A relação que > ele apresenta faz sentido? Se a estrutura é semelhante mesmo, como > Wittgenstein aparentemente não entendeu o teorema de Gödel? O teorema de > Gödel envolve a auto-referência, Wittgenstein negava tal coisa... Que pensam > disso? > > Abraços > > Rodrigo > > > Segue o texto: > > As hierarquias como aquelas com que estamos agora ocupados foram > detalhadamente exploradas num ramo da matemática moderna, com o qual nosso > estudo tem grande afinidade, exceto o fato de que a matemática é de uma > coerência e rigor incomparavelmente maiores do que nós podemos ter sequer > esperança de alcançar. O Ramo em questão é a teoria da prova - ou > metamatemática. Tal como esta última denominação claramente implica, essa > área da matemática trata de si mesma, isto é, das leis inerentes à > matemática e o problema de saber se a matemática é ou não coerente. > Portanto, não surpreenderá que os matemáticos tenham encontrado e > investigado, essencialmente, as mesmas consequências paradoxais da > auto-reflexividade, muito antes de que analistas da comunicação humana > estivessem cônscios sequer de sua existência. De fato, o trabalho nessa área > remonta a Schöder (1895), Löwenheim (1915) e, especialmente, a Hilbert > (1918). A teoria da prova, ou metamatemática, era então a preocupação > altamente abstrata de um brilhante, embora reduzido, grupo de matemáticos, > situado, por assim dizer, fora da corrente principal da atividade > matemática. Segundo parece, dois acontecimentos serviram, subsequentemente, > para que a teoria da prova ocupasse o foco das atenções. Um deles foi a > publicação, em 1931, do histórico artigo de Gödel sobre as proposições > formalmente indetermináveis, um trabalho que os professores da Universidade > de Harvard descreveram como o mais importante progresso realizado num quarto > de século no campo da lógica matemática. O Outro acontecimento foi o > aparecimento quase explosivo do computador, depois da II Guerra Mundial. > Essas máquinas foram rapidamente desenvolvidas a partir de autômatos > rigidamente programados, até se converterem em organismos artificiais > imensamente versáteis que começaram a propor problemas fundamentais sobre a > teoria da prova, logo que a sua complexidade estrutural atingiu um ponto em > que foi possível fazê-los decidir por si mesmos qual era, entre vários, o > procedimento otimal de computação. Por outras palavras, surgiu a > possibilidade de projetar computadores que não só executavam um programa > mas, ao mesmo tempo, eram capazes de efetuar mudanças em seus programas. > > Na teoria da prova, a expressão *procedimento de decisão, *refere-se à > questão de apurar se existe ou não um procedimento do tipo que se acaba de > descrever. Portanto, um problema de decisão tem uma solução positiva de > puder ser encontrado um procedimento de decisão para resolvê-lo, enquanto > que uma solução negativa consiste em provar que tal procedimento não existe. > Nesta conformidade, os problemas de decisão são referidos ou como > computáveis ou como insolúveis. > > Entretanto, existe uma terceira possibilidade. As soluções definidas > (positivas ou negativas) de um problema de decisão só são possíveis quando o > problema em questão se encontra *dentro do domíni*o (a área de > aplicabilidade) desse específico procedimento de decisão. Se esse > procedimento de decisão for aplicado a um problema *fora* do seu domínio, > a computação prosseguirá indefinidamente, sem provar jamais que uma solução > (positiva ou negativa) está prestes a ser alcançada. É neste ponto que > voltamos a encontrar o conceito de *indeterminabilidade.* > > Este conceito é o tema central do acima citado artigo de Gödel sobre as > proposições formalmente indetermináveis. O sistema formalizado que esse > autor escolheu para o seu teorema foi os *Principia Mathematica*, a > monumental obra de Whitehead e Russel, explorando os alicerces da > matemática. Gödel pôde demonstrar que nesse sistema ou algum outro > equivalente é possível construir uma frase, G, que (1) é demonstrável a > partir das premissas e axiomas do sistema, mas que (2) afirma de si mesma > que é indemonstrável. Isto significa que, se G é demonstrável no sistema, a > sua indemonstrabilidade (que é o que di de si mesmo) também seria > demonstrável. Mas se tanto a demonstrabilidade como a indemonstrabilidade > podem ser derivadas dos axiomas do sistema e os próprios axiomas são > coerentes (o que faz parte da prova de Gödel, então G é *indemonstrável em > termos do sistema*, tal como a previsão paradoxal apresentada em s. 6.441 > é indeterminável em termos do seu "sistema", que é a informação contida no > anúncio do diretor da escola e o contexto em que é feito. A prova de Gödel > reveste-se de consequências que vão muito além da lógica matemática; de > fato, demonstra de uma vez para sempre que qualquer sistema formal > (matemático, simbólico etc.) é necessariamente incompleto no sentido acima > estabelecido e que, além disso, a coerência de um tal sistema só pode ser > demonstrada recorrendo a métodos de prova que são mais genéricos do que > aqueles que o próprio sistema pode gerar. > > Detivemo-nos mais demoradamente no trabalho de Gödel porque vemos nele a > analogia matemática do que chamaríamos o paradoxo fundamental da existência > humana. O homem é, em última instância, sujeito e objeto de sua busca. > Conquanto seja sobre se a mente pode ser considerada algo semelhante a um > sistemaformalizado, tal como foi definido no parágrafo precedente, a bsca > humana de uma compreensão do significado de sua existência *constitui uma > tentativa de formalização*. Somente nesse sentido entendemos que certos > resultados da teoria da prova especialmente nas áreas da auto-reflexividade > e da indeterminabilidade) são pertinente. Isto não é, de maneira alguma, uma > descoberta nossa; de fato, dez anos antes de Gödel apresentar o seu > brilhante teorema, outras das grandes inteligências do nosso século já > formulara esse paradoxo em termos filosóficos; referimo-nos a Ludwig > Wittgenstein, em seu Tractatus Logico-Philosophicus. Provavelmente, em > nenhuma outra obra foi esse paradoxo existencial definido de maneira mais > lúcida nem ao *místico* foi conferido uma posição mais digna como o passo > final que transcende esse paradoxo. > > Wittgenstein mostra-nos que só poderíamos saber algo sobre o mundo, em sua > totalidade, se pudéssemos sair fora dele; mas se isso fosse possível, este > mundo já não seria *todo* o mundo. Contudo, a nossa lógica nada conhece > fora dele: > > "A lógica enche o mundo: os limites do mundo são também seus imites. > Portanto, não podemos dizer em lógica: Isto e isto há no mundo, aquilo não > há. > Pois isso, evidentemente, pressuporia que excluímos certas possibilidades e > tal não pode ocorrer, dado que, de outro modo, a lógica tem que sair dos > limites do mundo; que dizer, se pudéssemos considerar estes limites também > do outro lado. > O que não podemos pensar, não podemos pensar; portanto não podemos dizer o > que não podemos pensar." > > O mundo, assim, é finito e, ao mesmo tempo, ilimitado; ilimitado, > precisamente, porque nada existe fora que, junto ao de dentro, possa > constituir uma fronteira. Mas, assim sendo, deduz-se que "O mundo e a vida > são uma só coisa. Eu sou o meu mundo". Logo, sujeito e mundo já não são > entidades cuja função relacional é, de algum modo, governada pelo verbo > auxiliar *ter* (que um *tem* o outro, contém ou lhe pertence) mas, > outrossim, pelo *ser* existencial: "O sujeito não *pertence* ao mundo, *é* um > limite do mundo". > > Dentro desse limite, é possível formular e responder a perguntas > significativas: "Se é víavel formular uma pergunta, então também *se pode* > responder-lhe". > Mas "a solução do enigma da vida no espaço e no tempo está *fora* do > espaço e do tempo". Pois, como já deve estar mais do que esclarecido, nada > *dentro* de um quadro de referência pode enunciar ou mesmo *perguntar *coisa > alguma *sobre* esse quadro de referência. Portanto, a solução não consiste > em encontrar uma resposta para o enigma da existência mas em compreender que > esse enigma não existe. Esta é a essência das belas frases finais do > Tractatus, com seu sabor reminiscente do Budismo Zen: > > "Para uma resposta que não pode ser expressa, tampouco a pergunta pode ser > expressa. O *enigma* não existe. (...) > Sentimos que, mesmo se respondêssemos a *todas as possíveis* perguntas > científicas, mesmo assim os problemas da vida continuariam intocados. É > claro, não restará então pergunta alguma e esta é precisamente a resposta. > A solução do problema da vida vislumbra-se quando esse problema se dissipa. > (Não é essa, porventura, a razão pela qual os homens a quem, após longas > dúvidas, o sentido da vida se lhes torna claro, não podem dizer em que > consiste esse sentido?) > Existe, sem dúvida, o inexpressável. Este *mostra-se* a si mesmo, é o > místico... > Do que não podemos falar, devemos guardar silêncio." > > ------------------------------ > Conheça os novos produtos Windows Live. 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