> Daniel: existem dois números irracionais tais que um elevado a outro é
> racional?
>
> Se esta prova aí for a única, então não me convence.
Uma demonstração nunca é "única"! ;-)
> PS: Elaine disse que há uma prova de que raiz de 2 elevado a raiz de 2 é
> irracional. Bem, não conheço esta prova e sou preguiçoso (digo, ocupado)
> demais para pesquisar, mas se ela não envolver aquelas crenças
> embaraçosas e inaceitáveis que não compartilho, então o caso estaria
> resolvido e todos nós saberíamos que raiz de 2 elevado a raiz de 2 e
> raiz de 2 são dois números irracionais cuja potência de um pelo outro é
> racional.
Este resultado mencionado pela Elaine na realidade é uma consequência
do chamado Teorema de Gelfond-Schneider, que estabelece a
transcendência de uma classe enorme de números (incluindo "raiz de
dois elevado a raiz de dois", mas também "dois elevado a raiz de
dois", e também "e (o número de euler) elevado a pi").
Alem destas aplicações "práticas" imediatas, o Teorema de
Gelfond-Schneider é interessante, antes de mais nada, porque responde
à segunda questão do "sétimo problema de Hilbert", a saber:
"Será que a^b é sempre transcendental,
para um número algébrico a diferente de 0 ou 1,
e um um número algébrico irracional b ?"
Lembrando que Hilbert e seu programa formalista eram os principais
rivais de Brouwer e sua incipiente proposta intuicionista no debate
sobre a fundamentação da matemática no começo do século XX,
completamos o ciclo de volta à questão inicial!
Só não sei dizer se a demonstração do Teorema de Gelfond-Schneider
teria sido formulada usando apenas princípios intuicionisticamente
válidos! ;-) ;-)
(Duvido muito.)
* * *
Dito isto, acrescento que um exemplo muito mais simples e com
demonstração perfeitamente construtiva pode ser apresentado de dois
números irracionais a e b tais que a^b é racional.
Tome a = sqrt(2) e b = 2log_2(3).
Obviamente, b é irracional, pois se log_2(3) = m/n,
então 3^n, que é ímpar, é igual a 2^m, que é par.
Mas note que a^b = 3.
O Gabriel Stolzenberg mencionou este exemplo numa discussão na lista
fom, há alguns meses, como tendo sido apresentado por Errett Bishop
numa palestra intitulada "Aspects of Constructivism", em 1970, com
alguns comentários adicionais que vocês podem encontrar aqui:
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2007-November/012222.html
* * *
JM
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