Olá Paulo,
A colocação de João Marcos é interessante, mas acho que vc aponta para
um problema num outro sentido.
Nos temos uma noção intuitiva do conjunto do números naturais =
{0,1,2,3,4,5,...}, uma espécie de modelo pretendido, e nessa noção
intuitiva temos claras algumas propriedades e relações, mas muitas
outras não.
Este modelo pretendido ou idéia informal nos faz ver como "evidentes"
algumas propriedades.
Quando construímos um sistema dedutivo formal, como a Aritmética de
Peano (AP), colocamos algumas dessas propriedades (relações, funções,
etc) evidentes como axiomas e deduzimos formalmente segundo a lógica
que estamos usando (por exemplo, a lógica de primeira ordem para AP).
Todo teorema da teoria tem que ter uma dedução lógica a partir dos
axiomas, ou seja, por mais que um determinado enunciado pareça
evidente (ou imediato) tem que estar justificado dedutivamente na
teoria para ser um teorema. De ai que, as vezes, propriedades
evidentes dos números naturais ou das operações básica, requiram uma
demonstração.
Eu ouvi alguma vez que o Principia Mathematica de Russel e Whitehead
já foi criticado porque demorava dezenas e dezenas de páginas de
deduções para chegar a que 1 + 1 = 2.
Será que isso faz sentido? Será que é motivo de festa que chegue algém
dizendo: "pessoal, depois de uma semana de trabalho, al final consegui
demonstrar que 1 + 1 = 2"?
Para que fazemos sistemas dedutivos?
Por que os gregos criaram uma geometria dedutiva, em lugar de
simplesmente juntar os enunciados geométricos evidentes com outros aos
quais tinham chegado por experiência, medições, etc.?
Em primeiro lugar, poucos são os enunciados das teorias dedutivas da
matemática que são evidentes. Teoremas iniciais da geometria (por
exemplo, a soma dos ângulos interiores de um triângulo é igual a 180)
já não são evidentes. Proposições aritméticas relativamente simples,
como o Teorema de Fermat, não nós produzem nenhum sentimento de
certeza enquanto a sua verdade ou falsidade. Se todo o que poderiamos
fazer com os sistemas axiomáticos seria demonstrar umas poucas
proposições evidentes, então estes sistemas não serviriam para nada.
Mas não é isso o que acontece: os principais sistemas dedutivos da
matemática deduzem milhares de teoremas, cada vez de complexidade
maior.
Contudo, parece importante que um sistema dedutivo demonstre também as
proposições evidentes, pois ao final, o que queremos é que o sistema
formal corresponda, de uma maneira informal, com certas idéias
intuitivas, com um certo modelo pretendido, de caráter intuitivo e do
qual temos evidência de algumas proposições. A aritmética, as
operações de soma e produto, existiram milhares de anos antes da
Aritmética de Peano. Fórmulas algébricas eram deduzidas de outras mais
simples, mas ninguém tinha sistematizado tudo isso atá Peano. Por isso
é importante que todo esse trabalho inteletual e todo esse
conhecimento estaja agora colocado num sistema dedutivo.
Em síntese:
1) Se queremos que AP descreva as propriedades fundamentais dos
números naturais, então deve poder demonstrar que não existe natural
entre 0 e 1, que 1 + 1 = 2 e muitas outras proposições evidentes dos
números naturais.
2) Estes teoremas evidentes são frequentemente usados para demosntrar outros.
3) Demonstrar as coisas mais simples pode ser um exercício didático
para depois demonstrar coisas mais dificeis.
4) Se um sistema demonstra somente o evidente, então a sua utilidade é nula.
Mas com tudo isto é colocado um outro problema muito sério: até que
ponto o sistema dedutivo consiguiu capturar as idéias intuitivas? Isto
envolve questões como os resultados de Gödel e os modelos não standard
da aritmética.
Abraços
Carlos
2008/9/12 Paulo - yahoo <[EMAIL PROTECTED]>:
> Entrei nesta lista recentemente e, pelo que pude perceber,
> muitos dos participantes são matemáticos.
>
> Não sou matemático (sou licenciado em Matemática), mas tenho uma curiosidade
> que
> talvez seja pertinente ao tema desta lista:
>
> - Há alguns anos, quando estava estudando Teoria dos Números, deparei-me com
> um exercício (já resolvido
> no livro) que pedia o seguinte: "No conjunto dos números naturais, mostre
> que, entre 0 e 1,
> não existe nenhum outro número" (estou citando de cabeça - talvez o
> enunciado
> seja ligeiramente diferente).
>
> - Li a demonstração, que não é muito difícil (embora sozinho eu não tivesse,
> nem tenha, como
> condições de criar uma demonstração como aquela) e, de fato, ficou provado
> que entre 0 e 1
> (nos "Naturais" não há outro número).
>
> Minha pergunta é a seguinte:
>
> - Se a questão se restringe ao conjunto dos "Naturais" (0, 1, 2, ...), não
> é imediato que
> não existem números inteiros entre dois números consecutivos ? Para que
> serve uma
> demonstração como essa ?
>
> - A mim pareceu que essa demonstração foi feita apenas porque "é possível
> fazer". Talvez,
> mesmo sendo desnecessária, como a demonstração é possível de ser realizada,
> haveria
> um certo "deleite intelectual" em realizá-la.
>
> Enfim, demonstrar que entre 0 e 1 não há outro número natural é apenas um
> "exercício intelectual",
> ou em Teoria dos Números constitui-se em uma necessidade básica ?
>
> Grato pela atenção de todos.
> Paulo
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