Re: [Logica-l] Re: Kurt Gödel and the mechanization of mathematics
> Me parece que o teorema da incompletude de Kleene prescinde de uma
> codificação.
Bem lembrado, Doria. O teorema de incompletabilidade de Gödel
realmente segue como corolário do resultado de Forma Normal de Kleene,
que não apenas prescinde de auto-referência mas que pode ser
demonstrado sem codificação. Com a minha pergunta, contudo, eu
pretendia inquirir a respeito da _necessidade_ de usar *aritmetização*
(ou recursos aritméticos, em geral) em demonstrações de
incompletabilidade (em particular, à la Gödel). Intuitivamente, a
resposta me parece ser negativa, isto é, não me parece que tais
_demonstrações_ "dependam da aritmetização da sintaxe", como afirma a
autora do artigo. Mas é fato também que, por um motivo ou por outro,
não tenho visto demonstrações do teorema gödeliano que evitem a
burocracia da aritmetização...
Abraços,
Joao Marcos
> > On 18 Dec 2019, at 13:03, Joao Marcos wrote:
> >
> > Os comentários sobre o *racionalismo otimista* ("platonismo ingênuo"?)
> > de Gödel, no artigo, são filosoficamente interessantes.
> >
> > Das três observações que faço abaixo, as duas primeiras são críticas e
> > a terceira é um questionamento para os colegas.
> >
> > ###
> >
> > (0)
> >
> > Entre outras coisas, como observação parentética, parece-me um pouco
> > _out of the ordinary_ que se escreva algo assim:
> >
> > "The axioms of PA include the commutative law of addition, for
> > example, which states that it doesn’t matter in which order two
> > numbers are added to each other, the result is the same. They also
> > include the single rule of proof called Modus Ponens: “if A implies B,
> > and A, then B”.
> >
> > Suponho, contudo, que tais frases se tratem de uma espécie de
> > simplificação, _for the sake of the exposition_...
> >
> > ###
> >
> > (1)
> >
> > Formular o teorema de incompletabilidade de Gödel da seguinte maneira
> > também me parece razoavelmente _misleading_:
> >
> > "Given any axiom system which is both consistent and sufficiently
> > strong computationally, in the sense of being able to encode finite
> > sequences (see below), there is a statement in the language of the
> > system that is true, but cannot be proved from the axioms."
> >
> > Em particular, o sistema axiomático (não-recursivamente enumerável)
> > que contêm como axiomas todas as sentenças verdadeiras da Aritmética é
> > obviamente completo...
> >
> > ###
> >
> > (2)
> >
> > A pergunta que deixo aqui para os colegas é: qual é, na opinião de
> > vocês, o grau de verdade da asserção
> >
> > "The proofs for both theorems depend on the concept of an encoding, or
> > in technical terms the arithmetization of syntax"?
> >
> > Em outras palavras, qual o real grau de "dependência" do "conceito de
> > codificação" para as demonstrações de incompletude?
> >
> > ###
> >
> > Joao Marcos
> >
> >> On Wed, Dec 18, 2019 at 10:31 AM Joao Marcos wrote:
> >>
> >> Kurt Gödel and the mechanization of mathematics
> >> - Juliette Kennedy discusses Kurt Gödel’s Incompleteness Theorems: the
> >> ingenious proofs and enduring impact
> >> https://www.the-tls.co.uk/articles/kurt-godel-incompleteness-theorems/
> >>
> >>
> >> JM
> >
> >
> >
> > --
> > http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
> >
> > --
> > Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L"
> > dos Grupos do Google.
> > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> > um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
> > Para ver esta discussão na web, acesse
> > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Lg6zFhN50kmLG_Q1QsZgXpKYA7yreFSnwQZnDZN1M-_ww%40mail.gmail.com.
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http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
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Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para ver esta discussão na web, acesse
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Lgvnc5_Yo3iyymngWxSmM_XUrzk6rAshbOtwQvTR2L34g%40mail.gmail.com.
Re: [Logica-l] Re: Kurt Gödel and the mechanization of mathematics
Vê o teorema de Kleene, de novo.
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On 19 Dec 2019, at 08:36, Joao Marcos wrote:
>> Me parece que o teorema da incompletude de Kleene prescinde de uma
>> codificação.
>
> Bem lembrado, Doria. O teorema de incompletabilidade de Gödel
> realmente segue como corolário do resultado de Forma Normal de Kleene,
> que não apenas prescinde de auto-referência mas que pode ser
> demonstrado sem codificação. Com a minha pergunta, contudo, eu
> pretendia inquirir a respeito da _necessidade_ de usar *aritmetização*
> (ou recursos aritméticos, em geral) em demonstrações de
> incompletabilidade (em particular, à la Gödel). Intuitivamente, a
> resposta me parece ser negativa, isto é, não me parece que tais
> _demonstrações_ "dependam da aritmetização da sintaxe", como afirma a
> autora do artigo. Mas é fato também que, por um motivo ou por outro,
> não tenho visto demonstrações do teorema gödeliano que evitem a
> burocracia da aritmetização...
>
> Abraços,
> Joao Marcos
>
>
>>> On 18 Dec 2019, at 13:03, Joao Marcos wrote:
>>>
>>> Os comentários sobre o *racionalismo otimista* ("platonismo ingênuo"?)
>>> de Gödel, no artigo, são filosoficamente interessantes.
>>>
>>> Das três observações que faço abaixo, as duas primeiras são críticas e
>>> a terceira é um questionamento para os colegas.
>>>
>>> ###
>>>
>>> (0)
>>>
>>> Entre outras coisas, como observação parentética, parece-me um pouco
>>> _out of the ordinary_ que se escreva algo assim:
>>>
>>> "The axioms of PA include the commutative law of addition, for
>>> example, which states that it doesn’t matter in which order two
>>> numbers are added to each other, the result is the same. They also
>>> include the single rule of proof called Modus Ponens: “if A implies B,
>>> and A, then B”.
>>>
>>> Suponho, contudo, que tais frases se tratem de uma espécie de
>>> simplificação, _for the sake of the exposition_...
>>>
>>> ###
>>>
>>> (1)
>>>
>>> Formular o teorema de incompletabilidade de Gödel da seguinte maneira
>>> também me parece razoavelmente _misleading_:
>>>
>>> "Given any axiom system which is both consistent and sufficiently
>>> strong computationally, in the sense of being able to encode finite
>>> sequences (see below), there is a statement in the language of the
>>> system that is true, but cannot be proved from the axioms."
>>>
>>> Em particular, o sistema axiomático (não-recursivamente enumerável)
>>> que contêm como axiomas todas as sentenças verdadeiras da Aritmética é
>>> obviamente completo...
>>>
>>> ###
>>>
>>> (2)
>>>
>>> A pergunta que deixo aqui para os colegas é: qual é, na opinião de
>>> vocês, o grau de verdade da asserção
>>>
>>> "The proofs for both theorems depend on the concept of an encoding, or
>>> in technical terms the arithmetization of syntax"?
>>>
>>> Em outras palavras, qual o real grau de "dependência" do "conceito de
>>> codificação" para as demonstrações de incompletude?
>>>
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>>>
>>> Joao Marcos
>>>
On Wed, Dec 18, 2019 at 10:31 AM Joao Marcos wrote:
Kurt Gödel and the mechanization of mathematics
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JM
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